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푸리에 변환, 신호/푸리에 변환의 모든 것

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06. 이산 푸리에 변환 (DFT, Discrete Fourier Transform) 지금까지 다뤘던 푸리에 변환은 연속신호에 대한 변환이었다. 연속 시간에 대한 신호와 연속된 주파수에 대한 변환이었다. 연속 시간이라는 것은 시간과 시간 사이에 빈틈이 없다는 것이다. 주파수 연속이란 것도 마찬가지로 주파수와 주파수간의 간격이 없이 어떠한 주파수라도 있다는 것이다. 반면에, 이산 신호(Discrete Signal)라는 것은 값이 드문 드문 있다는 것이다. 이산(離散) 신호는 시간과 시간 사이가 연속이 아닌, 간격이 있는 신호를 의미한다. 즉, 1초, 2초, 3초, ...처럼 1초 간격으로만 값이 있거나, 0.1ms 마다 값이 있거나 하는 등, 시간을 기준으로 해서 드문드문 값이 있는 신호이다. 여기서 이산(離散)은, 우리말에서는 "이산 가족" 할 때에나 쓰는 말인데, 영어의 discrete..
05-2. 한 신호를 정해서 손으로 푸리에 변환 해보기 간단한 신호(시간에 대한 크기 값으로 주어지는)에 대해서 푸리에 변환을 해보자. 직접 손으로 한 번 풀어봐야, 푸리에 변환식의 의미를 체감하게 될 것이다. 푸리에 변환식에는 적분이 들어가 있어서, 신호가 조금만 복잡해도 손으로 풀기 어렵다. 해서, 가장 단순한 신호를 가지고 계산해보자. 가장 단순한 신호. 계속해서 1의 값을 가지는 신호를 대상으로 하자. 시간에 대한 그래프로 그려보면 아래와 같이 될 것이다. 이러한 신호에 대한 주파수 영역에서의 그래프는 어떻게 될까? 시간이 변함에 따라 신호 값의 변화가 없이 계속 1이다. 즉, 시간에 대한 변화값이 없다는 것은 주기가 무한대라는 얘기이고, 주파수는 0이라는 것. 따라서, 주파수가 0인 부분에서만 값이 존재하게 될 것이다. 이제 (그림 1)과 같은 신호..
05-1. 푸리에 변환식의 의미 앞 장에서 푸리에 급수에서부터 푸리에 변환으로 식을 유도해 냈다. $$ Y(f)=\int _{-\infty} ^{\infty} {y(t)e^{-i2 \pi ft} dt} \quad :푸리에\: 변환 \tag{식 1}$$ $$y(t)=\int _{-\infty} ^{\infty} {Y(f)e^{i2\pi ft} df} \quad :푸리에\: 역변환 \tag{식 1-1}$$ 푸리에 변환 (식 1)을 이용해서, 어떤 신호가 시간에 대한 함수(시간별로 그 파형의 크기가 주어지는)로 주어 졌을 때, 그 신호를 주파수에 대한 함수(각 주파수별 크기를 나타내는)로 표현할 수 있다. 아래 그림을 보자. 왼쪽의 시간에 대한 파형이 푸리에 변환에 의해 오른쪽의 주파수 파형으로 바뀔 수 있다. 그리고 반대로, 주파수 파형이..
05. 푸리에 변환, 푸리에 역변환 (Fourier Transform, Inverse Fourier Transform) 이번 장에서 드디어 앞 장에서 설명했던 푸리에 급수를 이용해서 푸리에 변환식을 유도해 낼 것이다. 앞 장에서 푸리에 급수에 대해 알아봤다. 푸리에 급수의 복소지수 표현은 아래와 같았다. $$y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega _0 t}} \quad \quad (식\; 1)$$ $$C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega _0 t} dt} \quad \quad (식\; 1-1)$$ 앞 장에서는 기본 각속도를 그냥 $\omega$로 표현했으나, 이제부터는 명확하게 하기 위해서 $\omega_0$로 표기한다. 이는 이제 설명하는 비 주기 신호에 대한 $\omega$와 구분하기 위함이다. 비 주기 신호는 기본 ..
04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기 앞 장까지 푸리에 급수에 대해 알아봤다. 푸리에 급수는 아래와 같은 식으로 표현되었다. 푸리에 급수의 삼각함수 표현 $$ \begin{align} &y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad \quad (식\; 1) \\ &a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad \quad (식\; 1-1) \\ &a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-2) \\ &b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad ..
04-5 푸리에 급수의 삼각함수 표현 vs. 복소지수 표현 이 장은 04-1 ~ 04-4까지의 내용을 정리하면서, 푸리에 급수의 두 표현방법(삼각함수, 복소지수함수)을 비교하고, 그 의미를 알아볼 것이다. 앞 장까지 우리가 알아봤던 것은 크게 2가지 였다. - 푸리에 급수의 삼각함수 표현 - 푸리에 급수의 복소 지수 표현 푸리에 급수의 삼각함수 표현은 다음과 같다. $y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} $ (식 1) $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} $ (식 1-1) $a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt}$ (식 1-2) $b_n = \frac {2}{T}..
04-4 푸리에 급수를 복소지수로 표현하기 이번 챕터는 푸리에 급수를 복소지수 형태로 변환하는 과정을 볼 것이다. 즉, 아래와 같은 사인함수로 표현한 푸리에 급수식을 복소지수 형태로 바꾸는 것이다. [사인함수 표현] $y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad $ (식 1) $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad $ (식 1-1) $a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad $ (식 1-2) $b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad $ (식 1-3) [복..
04-3. 매클로린 급수, 오일러 공식 앞 챕터들에서 복소평면에서의 원의 함수 식, 그리고 복소 지수함수와 그에 대한 미분에 대해 알아봤다. 원의 함수 식: $\cos x + i\sin x $ 복소 지수 함수: $e^{ix}$ 이제 이 둘이 만날 차례이다. 즉, 복소평면에서의 원의 함수 식과 복소 지수로 표현된 $e^{ix}$가 같음을 보일 것이다. 그 수단으로는 매클로린 급수를 사용할 것이다. 매클로린 급수 매클로린 급수(Maclaurin's series) 혹은 매클로린 전개로 불리는 것은, 아래와 같은 형태의 식으로, 어떠한 함수라도(사인 함수, 지수 함수 등 어떠한 함수라도) 이러한 다항식 형태로 표현할 수 있다고 한다. $$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a..
04-2. 복소 지수, 자연 상수 e 앞에서 복소평면에서 반지름이 1인 원을 그리는 함수가 $C(x) = \cos x + i\sin x$ 임을 알아봤다. 이것이 $e^{i \theta}$와 같다는 것을 보이는 것이 최종 목표이고, 증명 방법은 사인과 코사인 함수로 표현된 $C(x)$를 일반 다항식으로 바꾸고 이것이 $e^{ix}$와 같다는 것을 보일 것이다. $C(x)$를 다항식으로 전개하기 전에, 먼저 오일러 수(Euler's Number) $e^{i \theta}$에 대해 알아보자. 오일러 수 (Euler's Number)$e$는 오일러 수(Euler's Number)이고, $e=2.718...$ 정도의 값을 가지는 무리수이고, $e^x$를 미분하면 그대로 $e^x$가 되는 특성을 가지고 있는 수이다. $$ (e^x)' = e^x$$ 미..
04-1. 복소 평면, 복소평면에서의 원 복소평면에서의 원 복소평면에서의 원에 대한 미분을 알아볼 것이다. 뜬금없을 수도 있으나, 이 글의 끝까지 가보면 왜 이것에 대해 알아보는지 이유를 알 수 있을 것이다. 이를 위해서 우리는, 복소평면이 무엇인지도 알아야겠고, 원이 어떻게 표현되는지도 알아야한다. 복소평면 복소평면은 실수와 허수를 모두 표현하기 위한 평면 공간이다. (복소평면을 '가우스 평면'이라고 한다.) 허수는 제곱했을 때 $-1$이 되는 수 $i$를 포함한 수이다. ($2i, 3i$ 등) $$ i^2 = -1$$ $$ i = \sqrt {-1}$$ 허수 $i$가 도입된 것은 $x^2 = -1$을 만족하는 수를 표현하기 위함이었다. 수학에서는 $i$라고 표현하고, 전기/전자 공학 쪽에서는 $j$라는 표기를 사용한다. 전류를 나타내는 $i..

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