04-4 푸리에 급수를 복소지수로 표현하기

이번 챕터는 푸리에 급수를 복소지수 형태로 변환하는 과정을 볼 것이다.

 

즉, 아래와 같은 사인함수로 표현한 푸리에 급수식을 복소지수 형태로 바꾸는 것이다.

 

[사인함수 표현]

$y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad $ (식 1)      $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad $ (식 1-1)     $a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad $ (식 1-2)     $b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad $ (식 1-3)

 

[복소지수 표현]

$y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} \quad$  (식 2)     $C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} \quad$  (식 2-1)

 

변환에 필요한 기술 및 공식은 모두 앞 장들(4-1,4-2,4-3)에서 살펴봤다. 

그 중에서도 가장 중요하게 사용되는 공식이 오일러 공식이다. 

 

[오일러 공식]

$e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \quad$    (식 3)

 

이제 사인 함수로 표현되는 푸리에 급수 (식 1)을 복소지수로 표현되는 (식 2)로 변환해볼 것이다. 

이 과정은 순전히 수학적인 계산이다.

 

그래서, 이 과정을 따라가기 귀찮으면 안해도 된다. 다만 (식 1)과 (식 2)가 표현식만 다를 뿐 똑같은 식이라는 것만 인지하면 된다.

 

그래도, 변환되는 전체 과정이 궁금한 이는, 아래 과정을 쭈욱 따라가 보도록 하자.

 

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먼저, (식 1)에 있는 $\cos{n\omega t}$와 $\sin{n\omega t}$를 지수 형태($e^{n\omega t}$)로 바꾼다. 이는 오일러 공식을 약간 응용하면 가능하다.

 

$\cos{\theta}$와 $\sin{\theta}$의 복소지수 표현

 

오일러 공식은 다음과 같다.

 

    $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$              (식 4)

 

여기서 $\theta$ 대신에 $-\theta$를 넣으면 어떻게 될까?

 

    $e^{i(-\theta)} = \cos{(-\theta)} + i\sin{(-\theta)} $

              $=\cos{\theta} - i\sin{\theta}$                     (식 5)

 

이는, $\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}$이고, $\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}$이기 때문이다.

($\cos$과 $\sin$ 함수의 그래프 모양을 생각해보면 알 수 있다. $\cos$ 함수는 $y$축을 중심으로 대칭이어서 $\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}$이고, $\sin$ 함수는 원점을 기준으로 대칭이기에 $\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}$ )

 

(식 4)와 (식 5)를 서로 더하고 빼면, $cos{\theta}$와 $\sin{\theta}$를 복소지수 형태로 쓸 수 있다.

 

(식 4) + (식 5)

 

    $ e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos{\theta} $

    $ \rightarrow cos{\theta} = \frac{1}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$    (식 6)

 

(식 4) - (식 5)

 

    $ e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin{\theta} $

    $ \rightarrow sin{\theta} = \frac{1}{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$    (식 7)

 

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이제, 푸리에 급수식의 $\cos n\omega t$와 $\sin n\omega t$를 복소지수로 변환하자. 

 

$\cos n\omega t$와 $\sin n\omega t$는 (식 6)과 (식 7)을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. ($\theta=n\omega t$로 놓고 생각하면 된다.)

 

    $\cos n\omega t = \frac{1}{2}(e^{in\omega t} + e^{-in\omega t})$

    $\sin n\omega t = \frac{1}{2i}(e^{in\omega t} - e^{-in\omega t})$

 

이제 위 식을 이용해서 (식 1)을 다시쓰면,

 

    $y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} $ 

           = $a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{\{\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) + \frac{b_n}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})\}}$

           = $a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{a_n}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_n}{2}e^{-in\omega t} + \frac{b_n}{2i}e^{in\omega t}-\frac{b_n}{2i}e^{-in\omega t}\}$

           = $a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{a_n}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_n}{2}e^{-in\omega t} - \frac{ib_n}{2}e^{in\omega t}+\frac{ib_n}{2}e^{-in\omega t}\}$  // 분모를 $2$로 통일하기위해 $\frac{b_n}{2i}$에 $\frac{i}{i}$를 곱해줌

           = $a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{\{ \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega t} + \frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-in\omega t} \}}$  // $e^{in\omega t}$와 $e^{-in\omega t}$로 묶어줌

 

이제 푸리에 급수의 표현이 복소지수 형태로 표현이 되었다. 일단 이 식을 기억해두고 있자.

 

    $y(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{\{ \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega t} + \frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-in\omega t} \}}$      (식 8)

 

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이제 계수에 대한 식을 변환해보자. (식 1-1), (식 1-2), (식 1-3)이 이에 해당한다.

 

(식 1-1)은 어떠한 삼각함수도 없으니, 지수함수로 변환할 게 없다.  그대로 식을 사용하면 되겠다. 이를 (식 9)로 해서 기억해 두자.

 

    $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} $     (식 9)

 

(식 1-2)는 변환을 해야 한다. 위에서 (식 8)을 유도해낼 때와 마찬가지로 $\cos$을 지수함수로 변환한다.

 

    $a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} $

        $=\frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) dt} $

        $=\frac{1}{2} \cdot \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{\{ y(t) e^{in\omega t}+y(t)e^{-in\omega t}\} dt} $  //$\frac{1}{2}$를 적분 기호 밖으로 빼냈다.

        $=\frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{in\omega t} dt} + \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{-in\omega t} dt} $  //적분 안의 두 합을, 두 개의 적분 합으로 나눔

 

이제 $a_n$에 대한 변환도 했다. 이것을 (식 10)으로 기억해 두자

 

        $a_n=\frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{in\omega t} dt} + \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{-in\omega t} dt} $    (식 10) 

 

 

(식 1-3)을 변환해 본다.

    $b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} $

        $=\frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \frac{1}{2i}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}) dt} $

        $=\frac{1}{2i} \cdot \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{\{y(t)e^{in\omega t}-y(t)e^{-in\omega t}\} dt} $  //$\frac{1}{2i}$를 적분기호 밖으로 빼냈다.

        $=\frac{1}{i} \cdot \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{\{y(t)e^{in\omega t}-y(t)e^{-in\omega t}\} dt} $

 

우변의 분모에 있는 $i$를 없애기 위해 $i$를 곱해주면 아래와 같은 식이 된다.

    $ib_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{in\omega t} dt}- \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} $$   (식 11)

 

이제 (식 8~11)을 같이 써보자. 뭔가 규칙성이 보일 것이다.

 

$y(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{\{ \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega t} + \frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-in\omega t} \}}$      (식 8)   $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} $    (식 9)   $a_n=\frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{in\omega t} dt} + \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{ y(t) e^{-in\omega t} dt} $    (식 10)   $ib_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{in\omega t} dt}- \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} $  (식 11)

 

(식 8)은 $y(t)$를 어떤 복소지수함수들의 합으로 표현하는 것인데, 이때 사용되는 계수가 $\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$과 $\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$으로 표현되어 있다. 이 계수 값을 실제 계산할 수 있는 값으로 표현해야 한다. 

 

(식 10)과 (식 11)을 이용해서, (식 8)에서 사용된 계수를 표현할 수 있겠다. $\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$은 $\frac{1}{2}((식 10) - (식 11))$을 한 것이고, $\frac{1}{2}((a_n+ib_n))$은 $\frac{1}{2}((식 10) + (식 11))$을 하면 되겠다.

 

$\frac{1}{2}((식 10) - (식 11))$을 하면,

    $\frac{1}{2}(a_n - ib_n) = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{in\omega t} dt}$   (식 12-1)

 

$\frac{1}{2}((식 10) + (식 11))$을 하면,

    $\frac{1}{2}(a_n + ib_n) = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{-in\omega t} dt}$  (식 12-2)

 

 

$\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$과 $\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$을 각각 어떤 변수로 치환하자.

 

    $\frac{1}{2}(a_n-ib_n) = A_n$     (식 13-1)

    $\frac{1}{2}(a_n+ib_n) = B_n$    (식 13-2)

 

이렇게 놓으면 (식 12-1) (식 12-2) (식 13-1) (식 13-2)를 이용해서, (식 8~11)을 아래와 같이 쓸 수 있겠다.

 

$y(t) = a_0 + \sum _{n=1} ^{\infty} {(A_ne^{in\omega t}+B_ne^{-in\omega t})}$    (식 14)    $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)dt}$    (식 15)    $A_n = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{-in\omega t}dt}$    (식 16)    $B_n = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{in\omega t}dt}$    (식 17)

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(식 14)에서 $a_0$가 따로 떨어져 있고, 그 값은 (식 15)로 계산되게 되어 있다. 이를 없애보자.

 

(식 14)에서 합 계산을 함에 있어, $n=1$로 부터 하게 되어있다. $n=0$은 어떤 경우일까? $\sum _{n=1} ^{\infty}{A_ne^{in\omega t}}$에 대해 $n=0$을 넣어서 계산해보자.

 

    $A_0e^{i\cdot 0 \cdot \omega t} = A_0e^0 = A_0 $

 

$A_0$값은 (식 16)으로 계산할 수 있다. 

 

    $A_0 = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{-i\cdot 0 \cdot \omega t}dt} = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)dt} = a_0$

 

즉, $A_0=a_0$이다. 따라서, (식 14)에서 $a_0$를 따로 쓸 필요 없이, 합을 구할 때 $n=0$부터 하는 것으로 하면 되겠다. (식 14)를 다시 쓰면 다음과 같이 된다.

 

    $y(t) = \sum _{n=0} ^{\infty} {A_ne^{in\omega t}}+\sum _{n=1} ^{\infty} {B_ne^{-in\omega t}}$    (식 14-1)

    

위 식에서 $A_n$에 대한 계산은 $n=0$에서 시작하고, $B_n$에 대한 계산은 $n=1$에서 시작함에 유의한다. 

 

이렇게 $a_0$에 대한 계산을 $A_n$에 대한 계산식에 넣음으로써, (식 14)가 좀 더 간단하게 되었고, (식 15)가 필요 없게 되었다. 

 

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(식 14-1)도 좀 더 간단히 할 수 있다. 계수가 $A_n$과 $B_n$의 두 개로 되어 있는데, 이를 하나로 합칠 수 있다.

 

식을 자세히 보면, $A_n$은 $n=0 \rightarrow \infty$까지, $B_n$은 $n=1 \rightarrow \infty$까지 더하는 것인데, 뒤에 있는 $B_n$에 대해서 $n$이 양의 정수($n=1 \rightarrow \infty$)가 아니라 음의 정수($n=-1 \rightarrow -\infty$)에 대해 더하는 것으로 바꾸면 아래와 같이 된다. ($n$에 대해서 마이너스($-$)를 달아주는 것)

 

    $\sum _{n=1} ^{\infty} {B_ne^{-in\omega t}} = \sum _{n=-1} ^{-\infty} {B_{-n}e^{-i(-n)\omega t}} = \sum _{n=-1} ^{-\infty} {B_{(-n)}e^{in\omega t}}$

 

여기서 $B_{(-n)}$을 (식 17)을 이용해서 구해보자.

 

    $B_n = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{in\omega t}dt}$

    $B_{(-n)} = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{i(-n)\omega t}dt} = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{-in\omega t}dt} = A_n$    //뒤에 $A_n$이 된 것은 (식 16)에 의한 것

 

$B_{(-n)}$이 결국 $A_n$과 같은 것이다. 

 

위 식을 이용해서 (식 14-1)을 다시 써보자.

 

     $y(t) = \sum _{n=0} ^{\infty} {A_ne^{in\omega t}} + \sum _{n=-1} ^{-\infty} {B_{(-n)}e^{in\omega t}}$

         $=y(t) = \sum _{n=0} ^{\infty} {A_ne^{in\omega t}} + \sum _{n=-1} ^{-\infty} {A_{n}e^{in\omega t}} = \sum _{-\infty} ^{\infty} {C_ne^{in\omega t}}$    (식 14-2)

 

위 식의 뒷부분을 보면 $n=0 \rightarrow \infty$까지의 합과 $n=-1 \rightarrow -\infty$까지의 합은, 결국 $n=-\infty \rightarrow \infty$까지의 합과 같으므로, 합을 합쳤고, 계수 $A_n$을 그대로 써도 되나, $n=-\infty \rightarrow \infty$까지의 합에 대한 계수이기에 새로운 계수 $C_n$으로 표현한 것이다. 

 

이제 (식 14) ~ (식 17)을 더 간단히 쓸 수 있는 모든 유도를 끝냈다. 

 

(식 14)는 바로 위의 (식 14-2)로 나타낼 수 있고,

 

(식 15)는 $a_0$를 $A_n$에 대한 식에 포함시켰고, 그 식이 (식 14-2)에 포함되었기에 사라지게 되고,

 

(식 16)은 $A_n$이 아닌 $C_n$으로만 바꿔서 표현하면 되고(위의 식(14-2)를 유도할 때 $C_n$으로 바꿨다.)

 

(식 17)의 $B_n$에 대한 표현은 (식 14-2)에 의해 사라져도 되겠다. ($B_n$을 $B_{(-n)}$으로 바꿨었고, 이게 다시 $A_n$과 같음을 봤었다.)

 

즉, 이 모든 것을 종합해보면 다음의 두 식으로 간략하게 된다.

 

$y(t) = \sum _{n=-\infty} ^{\infty} {C_ne^{in\omega t}}$    (식 18)     $C_n = \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)e^{-in\omega t}dt}$    (식 19)

 

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드디어 사인 함수로 표현되던 푸리에 급수를 복소지수로 표현할 수 있게 되었다.

 

그런데, 이렇게 바꾸는 것에 무슨 의미가 있을까? 다음 장 4-5에서는 이 의미에 대해서 알아보고, 4장 전체를 마칠 것이다.

 

 

-끝-

 

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