04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기

 

앞 장까지 푸리에 급수에 대해 알아봤다.

 

푸리에 급수는 아래와 같은 식으로 표현되었다.

 

푸리에 급수의 삼각함수 표현 $$ \begin{align} &y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad \quad (식\; 1) \\ &a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad \quad (식\; 1-1) \\ &a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-2) \\ &b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-3) \end{align} $$

 

푸리에 급수의 복소지수 표현 $$ \begin{align} &y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} \quad \quad (식\; 2) \\ &C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} \quad \quad (식\; 2-1)\\ \end{align} $$

 

푸리에 급수의 의미를 체감하기 위해서는, 간단한 파형 하나를 정해서 직접 손으로 푸리에 급수식을 유도해보는 게 좋다. 

 

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아래와 같은 파형의 신호가 있을 때, 이를 푸리에 급수를 이용해서 주파수 영역의 함수로 바꿔 보자. 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다.

 

구형파의 구(矩)는 '네모'라는 의미의 한자이다. 근데, 실생활에서 이 한자가 쓰이는 부분은 거의 없다. 군대에서 똑바로 각지어서 걷는다는 '구보' 정도가 이 한자를 쓰는 경우이다. square wave를 일본에서 구형파라고 이름 붙인 것을 우리가 그냥 쓰는 듯하다.  

 

(그림 1) 시간에 대한 신호 파형

그림을 보면 주기는 $2\pi$다. 따라서 $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}$이고, $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{1}{2\pi}=1$이 된다. 

$-\pi$ ~ $\pi$까지에 대해서 푸리에 급수로 표현해 보자.

 

$-\pi$에서 $\pi$까지의 함숫값은,

$$ \left\{\begin{matrix} -1 & -\pi< t \leq 0 \\ 1 & 0 < t \leq \pi \end{matrix}\right.$$

 

먼저 (식 1-1)을 이용해서 $a_0$를 구해보면 $a_0=0$이 됨을 알 수 있다.

 

$$ \begin{align} a_0 &= \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \\ & = \frac {1}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {-1}dt + \frac {1}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {1}dt \\ & = \frac {1}{2\pi} \left [ -t \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac {1}{2\pi} \left [ t \right ] _{0} ^{\pi} \\ & = \frac {1}{2\pi}(0-\pi) + \frac {1}{2\pi}(\pi-0) \\ & = 0 \end{align} $$

 

(식 1-2)를 이용해서 $a_n$을 구하면, $a_0$와 마찬가지고 $0$이다. 

 

$$\begin{align} a_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\cos {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\cos {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (0+0) + \frac{1}{\pi} (0-0) \\ & = 0 \end{align}$$

 

(식 1-3)을 이용해서 $b_n$을 구하면,

 

$$ \begin{align} b_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\sin {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\sin {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (\frac{1}{n} \cdot 1-\frac{1}{n} \cos {n\pi}) + \frac{1}{\pi} (-\frac{1}{n} \cos {n\pi}+\frac{1}{n} \cdot 1) \\ &= \frac {1}{\pi}(\frac{2}{n} - \frac{2}{n}\cos{n\pi}) \\ &=\frac{1}{n\pi}(2-2(-1)^n) = \left\{\begin{matrix} 0 & (n:even\; number)\\ \frac{4}{n\pi} & (n:odd\; number) \end{matrix}\right. \end{align} $$

 

$b_n$ 값이 짝수일 때는 0이고 홀수일 때 $\dfrac {4}{n\pi}$이기에, $n=1$ ~ $\infty$ 값에 대해서는 $b_n=\dfrac {4}{(2n-1)\pi}$ 이라고 할 수 있다.  ($b_n \sin n\omega t$와 같이, $b_n$이 사인함수의 곱과 같이 쓰이고, n이 짝수일 때 $\sin n\omega t = 0$이기에, $b_n$의 값을 홀수인 경우만을 고려해서 이처럼 표현할 수 있는 것이다. ) 

 

이제 $a_0$, $a_n$, $b_n$을 (식 1)에다가 넣으면,

 

$$ \begin{align} y(t) &= a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \\ &= 0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(0 + \frac{4}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t)} \\ &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{4}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t} \tag{식 3} \end{align} $$

 

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(식 3)을 자세히 보면, 사인 그래프인데, 진폭은 $\dfrac {4}{(2n-1)\pi}$이고 주파수는 $n\omega$이다. 

 

$n$이 커짐에 따라 진폭과 주파수가 달라지는데, 진폭의 경우 $n$이 분모에 있기 때문에, $n$이 커짐에 따라 진폭은 점점 작아질 것이고, 주파수의 경우는 $n$이 커짐에 따라 점점 커진다. 

 

실제 그래프를 그려보면, $n$이 $1$일 때는 그냥 사인 곡선인데, $n$이 커짐에 따라 점점 펄스파에 가까운 모습으로 변한다.  (아래 그래프는 진폭을 $\frac{1}{\pi} $로해서 그린 것이고, 실제로는 진폭을 $\frac {4}{\pi}$로 해서 그려야 합니다. 즉, y축의 최대값이 $\frac {1}{\pi}=0.318$이 아니고, $\frac {4}{\pi}=1.27$로, 그래프 폭이 좀 더 커져야 맞습니다. 지금은 시간이 없어서 못 바꾸고, 추후 바꾸겠습니다. )

 

$n=999$ 정도 되면 거의 완벽한 펄스파가 된다.

 

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n을 크게 했다는 것은, n개만큼의 서로 다른 주파수 파형을 합쳤다는 것이다. 더 정확한 표현은, 기본 주파수의 정수배가 되는 파형들을, 주파수가 커짐에 따라 진폭은 작게 해서 합쳤다는 것이고, 이렇게 더 많은 주파수들을 합칠수록 펄스파에 가깝게 되는 것이다.

 

-끝-

 

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