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푸리에 변환, 신호/푸리에 변환의 모든 것

04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기

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앞 장까지 푸리에 급수에 대해 알아봤다.

 

푸리에 급수는 아래와 같은 식으로 표현되었다.

 

푸리에 급수의 삼각함수 표현

y(t)=a0+n=1(ancosnωt+bnsinnωt)(1)a0=1TT0y(t)dt(11)an=2TT0y(t)cosnωtdt(12)bn=2TT0y(t)sinnωtdt(13)

 

푸리에 급수의 복소지수 표현

y(t)=n=Cneinωt(2)Cn=1TT0y(t)einωtdt(21)

 

푸리에 급수의 의미를 체감하기 위해서는, 간단한 파형 하나를 정해서 직접 손으로 푸리에 급수식을 유도해보는 게 좋다. 

 


아래와 같은 파형의 신호가 있을 때, 이를 푸리에 급수를 이용해서 주파수 영역의 함수로 바꿔 보자. 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다.

 

구형파의 구(矩)는 '네모'라는 의미의 한자이다. 근데, 실생활에서 이 한자가 쓰이는 부분은 거의 없다. 군대에서 똑바로 각지어서 걷는다는 '구보' 정도가 이 한자를 쓰는 경우이다. square wave를 일본에서 구형파라고 이름 붙인 것을 우리가 그냥 쓰는 듯하다.  

 

(그림 1) 시간에 대한 신호 파형

그림을 보면 주기는 2π다. 따라서 f=1T=12π이고, ω=2πf=2π12π=1이 된다. 

π ~ π까지에 대해서 푸리에 급수로 표현해 보자.

 

π에서 π까지의 함숫값은,

{1π<t010<tπ

 

먼저 (식 1-1)을 이용해서 a0를 구해보면 a0=0이 됨을 알 수 있다.

 

a0=1TT0y(t)dt=12π0π1dt+12ππ01dt=12π[t]0π+12π[t]π0=12π(0π)+12π(π0)=0

 

(식 1-2)를 이용해서 an을 구하면, a0와 마찬가지고 0이다. 

 

an=2TT0y(t)cosnωtdt=22π0π(1)cosntdt+22ππ0(1)cosntdt=1π[1nsinnt]0π+1π[1nsinnt]π0=1π(0+0)+1π(00)=0

 

(식 1-3)을 이용해서 bn을 구하면,

 

bn=2TT0y(t)sinnωtdt=22π0π(1)sinntdt+22ππ0(1)sinntdt=1π[1ncosnt]0π+1π[1ncosnt]π0=1π(1n11ncosnπ)+1π(1ncosnπ+1n1)=1π(2n2ncosnπ)=1nπ(22(1)n)={0(n:evennumber)4nπ(n:oddnumber)

 

bn 값이 짝수일 때는 0이고 홀수일 때 4nπ이기에, n=1 ~ 값에 대해서는 bn=4(2n1)π 이라고 할 수 있다.  (bnsinnωt와 같이, bn이 사인함수의 곱과 같이 쓰이고, n이 짝수일 때 sinnωt=0이기에, bn의 값을 홀수인 경우만을 고려해서 이처럼 표현할 수 있는 것이다. ) 

 

이제 a0, an, bn을 (식 1)에다가 넣으면,

 

y(t)=a0+n=1(ancosnωt+bnsinnωt)=0+n=1(0+4(2n1)πsinnωt)=n=14(2n1)πsinnωt

 


(식 3)을 자세히 보면, 사인 그래프인데, 진폭은 4(2n1)π이고 주파수는 nω이다. 

 

n이 커짐에 따라 진폭과 주파수가 달라지는데, 진폭의 경우 n이 분모에 있기 때문에, n이 커짐에 따라 진폭은 점점 작아질 것이고, 주파수의 경우는 n이 커짐에 따라 점점 커진다. 

 

실제 그래프를 그려보면, n1일 때는 그냥 사인 곡선인데, n이 커짐에 따라 점점 펄스파에 가까운 모습으로 변한다.  (아래 그래프는 진폭을 1π로해서 그린 것이고, 실제로는 진폭을 4π로 해서 그려야 합니다. 즉, y축의 최대값이 1π=0.318이 아니고, 4π=1.27로, 그래프 폭이 좀 더 커져야 맞습니다. 지금은 시간이 없어서 못 바꾸고, 추후 바꾸겠습니다. )

 

n=999 정도 되면 거의 완벽한 펄스파가 된다.

 


n을 크게 했다는 것은, n개만큼의 서로 다른 주파수 파형을 합쳤다는 것이다. 더 정확한 표현은, 기본 주파수의 정수배가 되는 파형들을, 주파수가 커짐에 따라 진폭은 작게 해서 합쳤다는 것이고, 이렇게 더 많은 주파수들을 합칠수록 펄스파에 가깝게 되는 것이다.

 

-끝-

 

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