04-5 푸리에 급수의 삼각함수 표현 vs. 복소지수 표현

이 장은 04-1 ~ 04-4까지의 내용을 정리하면서, 푸리에 급수의 두 표현방법(삼각함수, 복소지수함수)을 비교하고, 그 의미를 알아볼 것이다. 

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앞 장까지 우리가 알아봤던 것은 크게 2가지 였다.

 

 - 푸리에 급수의 삼각함수 표현

 - 푸리에 급수의 복소 지수 표현

 

푸리에 급수의 삼각함수 표현은 다음과 같다.

 

$y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} $    (식 1)     $a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} $    (식 1-1)     $a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt}$    (식 1-2)     $b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} $    (식 1-3)

 

푸리에 급수의 복소지수 표현은 다음과 같다.

$y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} $    (식 2)     $C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} $    (식 2-1)

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푸리에 급수의 삼각함수 표현을 보면,

 

(식 1)은 어떤 기본 주기를 가지는 파형을 표현하는 식이다. 

 

어떤 주기를 가진다는 것은, 어떤 주파수를 가진다는 것이고, 이 경우, 이 기본 주파수의 정수배가 되는 파형의 합으로 나타날 수 있다는 기본 원리를 이용한 것이다. 아래 그림을 보면 그 의미를 알 수 있을 것이다. 

(이에 대해서는 03. 푸리에 계수에서 알아봤다.)

 

(식 1-1)~(식 1-3)은 (식 1)에서 사용된 계수들을 구하는 식이다.

 

계수들은, 원래의 파형 식인 (식 1)에 적당한 연산을 가함으로써 구할 수 있다.

 

$a_0$는 원래의 파형 $y(t)$에 대해 한 주기 동안(0~T)의 적분 값을 구한 후 $T$로 나누면 되고 (식 1-1),

 

$a_n$은 원래의 파형에 구하고자 하는 계수에 해당하는 코사인 파형을 곱해서 적분한 후 $\frac{2}{T}$를 곱해주면 된다. (식 1-2)  

 

예를 들어, $a_1$을 구할 때는, 원래의 파형식인 $y(t)$에다가 $n=1$일 때의 코사인 파형인 $\cos {\omega t}$를 곱해서 적분하는 것이고, 

 

    $a_1 = \frac{2}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)\cos {\omega t}dt}$

 

$a_2$를 구하는 것은, 원래의 파형식 $y(t)$에 $n=2$일 때의 코사인 파형인 $\cos {2\omega t}$를 곱해서 적분하는 것.

 

    $a_2 = \frac{2}{T} \int _{0} ^{T} {y(t)\cos{2\omega t}dt}$

 

 

 

$b_n$을 구하는 것은, 위의 $a_n$을 구할 때와 유사한데 단, 다른 것은 $\cos$ 파형이 아닌 $\sin$ 파형을 곱하는 것이다. (식 1-3)

 

$b_1$을 구할 때는, 원래의 파형식인 $y(t)$에다 $n=1$일 때의 사인 파형인 $\sin {\omega t}$를 곱해서 적분하고,

 

    $b_1 = \frac{2}{T} \int _{0} ^{T} {y(t) \sin {\omega t}dt} $

 

$b_2$를 구할 때는 $n=2$일 때의 사인파인 $\sin {2\omega t}$를 곱해서 적분한다.

 

    $b_2 = \frac{2}{T} \int _{0} ^{T} {y(t) \sin {2\omega t}dt}$

 

 

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이러한, 푸리에 급수의 사인 함수의 표현은 어떤 의미를 가지는 것일까?

 

(식 1) 및 (식 1-1)~(식 1-3)은 다음과 같은 의미이다.

 

어떤 주기성을 가지는 신호 $y(t)$가 있으면, 이 신호의 기본 각속도 $\omega$의 정수배가 되는 코사인과 사인파의 합으로 표현할 수 있다.  이 때 각 코사인과 사인파의 진폭 크기를 나타내는 계수값들은, 원래의 신호에 해당 각속도 값에 해당하는 코사인 파형 혹은 사인파형을 곱하고 적분하는 연산을 통해 구할 수 있다.

 

즉, 어떤 임의의 파형이 주어지면, 이 파형을 여러 주파수를 가지는 기본 파형의 합으로 표현할 수 있다는 것이고, 이는 기본 파형으로 분리할 수 있다는 말이다.

 

주기($T$), 주파수($f$), 각속도($\omega$)는 한 값이 주어지면 모두 변환 가능한, 서로 같은 값임에 유의하자. 

    $f = \frac{1}{T}$
    $\omega = 2\pi f$

따라서, 어떤 각속도 $\omega$의 정수배라는 것은, 주파수의 정수배라는 것과 동일한 말이고,

    $n\omega t = n (2 \pi f) t$    // $\omega$에 대한 $n$배는, 주파수 $f$에 대한 $n$배라는 것과 동일

주파수의 정수배라는 것을 주기로 표현하면, 주기의  "1/정수배"라는 말과 같다. 즉, 주기가 점점 작아지는 방향으로의 배수가 된다.

    $n\omega t = n (2\pi f) t = n (2\pi \frac{1}{T}) t $

 

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위의 삼각함수로 표현된 푸리에 급수식을 복소지수 식으로 표현할 수 있다.

 

$y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} $     (식 2)     $C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} $     (식 2-1)

이것은 어떤 의미일까?

 

(식 2)의 의미를 알기 위해서는 $C_ne^{in\omega t}$가 무엇을 나타내는지를 알아야 한다.

 

$C_ne^{in\omega t}$는, 복소평면에서 크기가 $C_n$이고 각속도가 $n\omega$인 원들을 의미한다. 

왜 그렇게 되는지 설명하겠다.

 

아래 그림을 보자,

 

복소평면에서 각도에 따른 원의 식은 $e^{i\theta}$이다. ( 이 부분에 대한 것은 04-1. 복소 평면, 복소평면에서의 원에서 설명했었다.) 

또한, 원의 크기는 반지름의 크기로 나타낼 수 있는데, 반지름의 크기가 $A$이면 원의 식은 $Ae^{i\theta}$가 된다.

 

여기서 원 위의 점의 속도 즉, $\theta$가 얼마나 빨리 변하는 지를 표현하려면 각속도 $\omega$를 이용해서 표현하면 되고, $\omega$는 시간($t$)에 따른 각($\theta$)의 변화이기에 $\omega = \frac{\theta}{t}$이고, 각속도를 이용한 원의 표현은 $e^{i\omega t}$가 된다. ($\omega = \frac{\theta}{t}$이기에 $\theta=\omega t$이다.)

 

즉, $$원의 회전 속도까지 표현한 식이 $e^{\omega t}$이다. (정확하게는, 원위의 점이 이동하는 속도라고 표현하는 것이 맞겠으나, 이는 마치 원이 회전하는 것과 같기에 이렇게 표현한 것)

 

반지름이 $A$이면서 각속도가 $\omega$이면 $Ae^{i\omega t}$가 된다.

 

 

이제 (식 2)에 있는 $C_n e^{in\omega t}$를 해석해보면, 원의 크기가 $C_n$이고(정확하게는 반지름이 $C_n$이고), 각속도가 $n\omega$인 복소평면에서의 원이라고 할 수 있다.

 

원의 크기가 $C_n$이라는 것은 쉽게 이해가 될 것인데, 각속도가 $n\omega$란 것은 무슨 의미일까?

 

$n=1$이면 각속도가 $\omega$, $n=2$이면 각속도가 $2\omega$이기에, 기본 각속도인 $\omega$를 기준으로 해서, 그 각속도의 2 배, 3 배,... 되는 원들을 나타낸다. 

 

$n=-1$이면 각속도가 $-\omega$, $n=-2$이면 각속도가 $-2\omega$로, 기본 각속도인 $\omega$가 반시계 방향으로의 회전이라면, 음수의 각속도는 그 반대 방향인 시계 방향으로 회전하는 것을 의미한다.

 

이제 (식 2) 전체에 대해서 해석을 해보면, 

 

•  어떤 시간에 대한 파형 $y(t)$를 복소평면에서의 원들의 합으로 나타낼 수 있고(정확한 표현은, 원을 그리는 점들의 움직임의 합으로 표현할 수 있고),
• 이 원들은 기본 각속도 $\omega$의 $-\infty$ ~ $\infty$까지의 정수배가 되는 원들이고,
• 각속도가 다른 각각의 원들의 크기는 $C_n$인데, 이 값은 구하려는 원의 각속도의 음수 배의 식을 원래의 식에 곱한 후 적분을 해서 구할 수 있다.  

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이제 삼각함수로 표현한 푸리에 급수와 복소지수로 표현한 푸리에 급수를 비교해보면, 

 

• 삼각함수를 이용한 푸리에 급수 표현은, 파(wave)의 기본 형태를 사인함수로 여기고, 기본 주파수의 정수배가 되는 모든 기본파의 합으로 어떤 주어진 파를 표현한 것이고,
• 복소지수를 이용한 푸리에 급수 표현은, 파(wave)의 기본 형태를 복소평면에서의 원으로 여기고, 이 원의 기본 각속도의 정수배(양의 정수배 및 음의 정수배)가 되는 원들의 합으로 어떤 주어진 파를 표현한 것이다. 

즉, 파(wave)를 어떻게 표현하느냐에 따라 달라진 표현식으로, 똑같은 의미를 가지는 것이다.

 

 

-끝-

 

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