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푸리에 변환, 신호/푸리에 변환의 모든 것

05-1. 푸리에 변환식의 의미

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앞 장에서 푸리에 급수에서부터 푸리에 변환으로 식을 유도해 냈다. 

 

Y(f)=y(t)ei2πftdt:

y(t)=Y(f)ei2πftdf:

 

푸리에 변환 (식 1)을 이용해서, 어떤 신호가 시간에 대한 함수(시간별로 그 파형의 크기가 주어지는)로 주어 졌을 때, 그 신호를 주파수에 대한 함수(각 주파수별 크기를 나타내는)로 표현할 수 있다. 아래 그림을 보자.

 

왼쪽의 시간에 대한 파형이 푸리에 변환에 의해 오른쪽의 주파수 파형으로 바뀔 수 있다. 그리고 반대로, 주파수 파형이 푸리에 역변환 식에 의해 왼쪽의 시간에 대한 파형으로 변환될 수 있는 것이다.

 


이 푸리에 변환식이 시간에 대한 파형을 주파수 파형으로 바꿀 수 있다는 것은 알겠는데, 과연 식의 어떤 점이 이런 역할을 할 수 있는 것일까? 

식에 대해 좀 더 알아보자.

 

(식 1)을 분해해보면,

  • Y(f) : 주파수에 대한 함수. 주파수 범위는 주파수로 나타낼 수 있는 전체 범위이며, 각 주파수별 크기 값이 표현될 수 있는 식이 되겠다. 즉, 어떤 주파수 f에 대해 그 크기를 알 수 있는 함수.
  • XYdt : 모든 시간대에 대해서( ~ ) 어떤 XY에 대한 곱을 한 것을 전부 합하는 것(적분하는 것). 여기서 XY를 벡터로 본다면 두 벡터를 곱하는 내적(XY)으로 생각할 수 있다.
  • 위에서 X로 나타낸 것은 원래의 신호 파형인 y(t)이고, Y는 복소평면에서 주파수 f이며 회전 방향이 음수(시계 방향)인 원의 식(=주파수 f이며 진행방향이 음의 방향인 사인파)
eiwπft가 복소평면에서의 어떤 원에 대한 식이고, 이는 cossin 곡선으로 이루어지는 사인파의 표현과 똑같다는 것은 04-1. 복소 평면, 복소평면에서의 원에서 얘기한 바 있다. 헷갈린다면 그 부분을 다시 한번 보기 바람.

 

(식 1)을 분석해본 바를 의미 있게 해석해 보면 "어떤 주파수에 대한 푸리에 변환값은, 주어진 시간 파형과 어떤 주파수의 파형을 내적한 것의 합"이라고 할 수 있다.

 

이 말의 의미가 잘 안와닿을 수 있다.

예를 들어 설명해 보겠다.

 


예를 들어 어떤 시간에 대한 신호 y(t)가 있다고 했을 때, 이 신호의 주파수 f=1인 성분을 구해보도록 하자. 

 

(식 1)에 대입해 보면,

 

Y(1)=y(t)ei2πtdt(2)

 

f=1을 넣었고, 적분식안에는 y(t)e2πt 사이에는 내적 기호(dot)를 의도적으로 넣어 구분이 편하게 했다. 

 

이 식에서 복소지수로 표현된 부분을 삼각함수로 바꿔서 표현하겠다. 복소지수 표현이 간단하긴 하지만, 실제 어떤 값일까 하는 감을 잡기 위해서는 사인 함수로 표현하는 것이 좋다.

 

Y(1)=y(t)(cos2πtsin2πt)dt(21)

 

여기서 복소지수식을 삼각함수 식으로 바꾸는 것은 오일러 공식을 이용했다. ( 이 부분을 모르겠다면 04-3. 매클로린 급수, 오일러 공식 참조 )

 

eiθ=cosθ+isinθ

eiθ=cosθisinθ

ei2πt=cos2πtisin2πt

 

(식 2)를 계산하기 위해서는,

  • 시간 t의 범위를 적절히 정하고, (변환식에서는 적분의 범위가 무한대이지만, 실제 무한대에 대해서 계산할 수 없다. 해서 적절한 시간 범위를 정해서 구해야 되고, 이 시간 범위를 무한대에 가깝게 크게 할수록 더 정확한 계산이 될 뿐이다.)
  • 그 시간 범위에 대해서 적분식을 계산하면 될 것이다.

실제 계산을 하는 것은 다음 챕터에서 해볼것이고, 여기서는 그 의미를 파악하는 것이 그 목적이기에, 적분 안의 두 벡터의 곱에 대해 관심을 둬보다.

 

적분식 안에 보면 원래 시간에 대한 신호식인 y(t)가 있고, 이것에 대해 주파수가 1인 파형을 내적했다.

 

여기서 '내적'의 의미를 생각해보면, 벡터 연산에 있어서 두 벡터 AB의 내적은 "벡터 A의 벡터 B로의 사영(그림자)에 벡터 B의 크기를 곱한 값"이다. 

 

(식 2)에서 A=y(t)이고, B=(주파수 1일 때의 파형)이다. 그리고 주파수 1일 때의 파형에 대한 크기는 1이다. (복소평면에서 원의 반지름이 1이라는 것. eiθ는 반지름이 1이고 3eiθ의 반지름은 3)

 

그렇다면 (식 2)에서의 두 값의 내적이라는 것은 "원래 신호의 주파수 1인 파형으로의 그림자 크기"라고 할 수 있다. (벡터의 내적을 하게 되면 그 방향 성분은 사라지고 크기만 남는다.)

시간에 대한 파형을 주파수 1인 파형으로 정사영시킨 크기라는 말이다.

 

주파수 2에 대한 값인 Y(2)는 "원래 신호의 주파수 2인 파형으로의 그림자 크기"이고, G(Y)은 ....

 

정리하면, 푸리에 변환이라는 것은 "어떤 신호의 각각의 주파수로의 그림자 크기"를 구하는 변환식인 것이다.

 


잠시 벡터의 표현에 대해서 생각해 보자.

 

 

3차원 좌표에서 어떤 점 P가 있다고 하자.  이 P를 나타내려면 각 축의 벡터 성분 x, y, z를 합하면 된다.  

 

P에 대해 나타낼 때 XY의 성분만으로 표현하면 어떻게 될까? 

 

P=x+y

 

Z성분이 빠져서 완벽하지 않다. 그렇지만 어느 정도 P의 특성을 반영하기는 한다. XY에 대한 특성은 나타냈으니.

 

두 개 차원 혹은 한 개 차원으로 설명해도 그 나름대로 P에 대한 설명을 하는 것이다. 3가지 차원 성분 모두로 표현해야 완벽하겠지만.

 


다시 푸리에 변환식으로 돌아가자.

 

원래의 시간에 대한 파형을 위 벡터 설명에서의 점 P라고 생각해보자. 그리고, 각 주파수별로 하나의 축을 담당한다고 생각해 보자.

 

그렇다면 시간에 대한 파형은, 각 주파수 축으로의 성분들의 합으로 표현할 수 있다. 각 축에 대한 성분 크기는 원래의 파형과 각 축과의 내적을 하면 된다. 

 

원래의 파형을 완벽하게 설명하기 위해서는 무한대의 주파수 축을 이용해서 설명하면 된다. 그러나, 무한대의 주파수에 대해 계산한다는 것은 불가능하고, 어느 정도 범위와 레졸루션(주파수와 주파수 간격)을 정해서 그 해당 주파수 만으로 표현해도, 어느 정도는 그 파형을 설명할 수 있을 것이다.

 

이것이 푸리에 변환식의 의미이다. 신호를, 그 신호를 이루는 주파수 성분의 그림자로 표현하는 것이다.

 

푸리에 역변환도 위에서 설명한 논리와 똑 같이 생각할 수 있기에, 따로 설명하지 않겠다.

 

-끝-

 

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