05. 푸리에 변환, 푸리에 역변환 (Fourier Transform, Inverse Fourier Transform)

 

 

이번 장에서 드디어 앞 장에서 설명했던 푸리에 급수를 이용해서 푸리에 변환식을 유도해 낼 것이다. 

 

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앞 장에서 푸리에 급수에 대해 알아봤다. 푸리에 급수의 복소지수 표현은 아래와 같았다.

 

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}(식1)$$   $$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt(식1-1)$$

 

앞 장에서는 기본 각속도를 그냥 $\omega$로 표현했으나, 이제부터는 명확하게 하기 위해서 ${\omega }_0$로 표기한다. 이는 이제 설명하는 비 주기 신호에 대한 $\omega$와 구분하기 위함이다. 

비 주기 신호는 기본 각속도 및 기본 주파수 개념이 없기 때문이다.

 

기본 각속도 ${\omega }_0$는, 주기를 가지는 신호의 '가장 큰 주기'에 해당하는 각속도이다. 예를 들어, 그 가장 큰 주기가 $T_0$이면, 기본 주파수 $f_0=\frac{1}{T_0}$인 것이고, 기본 각속도 ${\omega }_0=2\pi f_0$이다. 

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위 식은 각속도 $\omega$를 이용해서 표현한 것인데, 이를 주파수로 표현하면 다음과 같다. (위에서 기본 각속도 ${\omega }_0$를 가지고 표기했듯이, 여기서도 기본 주파수 $f_0$를 이용해서 표현한다. 기본 주파수의 2배인 주파수는 $f_2$, 3배인 주파수는 $f_3$,.... 따라서 n배인 주파수는 $f_n$이다.)

 

또한 $C_n$을 계산할 때 적분의 범위를 (0~T)까지 표시했는데, 이는 편의상 가장 대표적인 하나의 주기를 나타냈을 뿐, (T~2T) 까지 등 어떤 한 주기 값에 대해서도 적분값이 동일하기에, 하나의 주기 동안 적분한다는 표시로 $<T>$와 같이 표현하겠다.

 

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{i2\pi f_{n}t}(식2)$$     $$C_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{<T_0>}y(t)e^{-i2\pi f_{n}t}dt(식2-1)$$

 

각속도로 표현하건 주파수로 표현하건 푸리에 급수 식은 똑같다. 

(여기서 주파수로 표현한 것은, 푸리에 급수를 주기성이 없는 신호에 대해서도 적용할 수 있도록 하기 위해서는, 주파수를 이용해서 표현하는 것이 이해하기 쉽기 때문이다. 주기성이 없다는 것은 주기가 무한대라는 것이고, 주파수는 $\frac{1}{주기}$이기에, 이를 이용해서 식을 유도해 나갈 것이다.)

 

푸리에 급수는 신호가 일정한 주기 $T_0$를 가지고 있다는 것을 전제로 한다. (기본 각속도 ${\omega }_0$를, 기본 주파수 $f_0$를 가지고 있다는 말과 똑같음)

 

그런데, 주기가 없는 경우는 어떻게 할 것인가? 

 

주기가 없다는 것은 주기가 무한대라는 것과 동일하다. 주기가 무한대라것은 기본 주파수가 0으로 접근한다는 것이다.

아래 그림을 보고 이 의미를 생각해보자.

 

[그림 1]

 

 

위 그림을 보면, 제일 위 쪽에 주기 $T_0$를 가지는 신호의 주파수 스펙트럼을 보면, 각 주파수별로 어떤 값을 가지고 있고, 이는 해당 주파수에서 위 쪽으로의 '선'으로 나타내어진다. 이때, 각 선의 간격은 기본 주파수 $f_0$이다. 

 

이제 한 주기의 신호는 동일하게 유지시키면서(한 주기 이후에 나타나는 파형을 동일하게 한다는 의미), 주기 $T_0$의 크기 만을 증가시키면, 주파수 프펙트럼에서의 선 간격은 점점 좁아지게 될 것이다. 

 

이렇게 주기 $T_0$의 크기를 점점 크게해서 무한대로 접근하면, 주파수의 선 스펙트럼 간격은 $0$으로 접근하여 결국 연속 스펙트럼 형태가 된다. 

 

이와 같은 개념에 따라, (식 2)와 (식 2-1)의 푸리에 급수식에서 주기를 무한대로 접근하도록 하면, 다음과 같이 비주기 신호에 대한 식이 나온다.

 

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Y(f)e^{i2\pi ft}df(식3)$$ $$Y(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식3-1)$$

 

위 두 식이 바로 '푸리에 변환' 식이다. !!!!!

 

(식 3-1)을 연속 시간 푸리에 변환(Continuous-Time Fourier Transform, CTFT)라 하고, (식 3)을 연속 시간 푸리에 역변환(Inverse Continuous-Time Fourier Transform, ICTFT)라고 한다.

 

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푸리에 급수에서 푸리에 변환으로의 수학적 유도

위 쪽에 적은 푸리에 급수식인 (식 2)와 (식 2-1)을 다시 적어 보겠다.

 

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{i2\pi f_{n}t}(식2)$$
$$C_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{<T_0>}y(t)e^{-i2\pi f_{n}t}dt(식2-1)$$

 

이 푸리에 급수 식에서 주기 $T_0$를 무한대로 보내서, 주파수 스펙트럼이 연속이 되도록 한(=모든 주파수로 표현할 수 있게 한) 것이 푸리에 변환이다. 

 

위 식에서 $T_0$가 들어 있는 (식 2-1)에서, 이 $T_0$를 무한대로 보내보자.

 

$$\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n=\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식4)$$

 

(식 4)에서 유의할 부분은,

• 적분의 범위가 $-\mathrm{\infty }$에서 $\mathrm{\infty }$로 변경되었다. 이는 원래 (식 2-1)에서 한 주기 동안의 적분이었는데, 주기가 무한대로 늘어남에 따라 변경된 것이다.
• 지수승에 있는 $f_n$이 $f$로 바뀌었다. 이는 주기가 무한대로 되면서, 이산적으로 띄엄띄엄 있었던 주파수가 연속 주파수로 바뀌었기에, 모든 주파수를 나타내는 $f$로 바뀐 것이다. 위 (그림 1)에서 주파수가 연속 주파수가 바뀌는 그림을 연상하면 이해가 될 것이다.

 

이제 이 (식 4)를 (식 2)에 넣어 보자. (식 2)의 $C_n$의 자리에 (식 4)를 넣는 것이다.

 

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt\right\}{e}^{i2\pi nft}(식5)$$

위 식에서 $t$에 대한 적분 부분을 $Y(f)$로 놓겠다. 그러면 식이 좀 간단해지겠다. $f$에 대한 식으로 놓은 것은, 이 식이 주파수 $f$가 변수이 식이기 때문이고, 이 $f$는 모든 주파수를 의미한다. (위에서 주기를 무한대로 뒀고, 이에 따라 $f$의 간극이 좁아지면서 모든 주파수를 의미하게 되었다. 위 쪽 [그림 1]에서 이에 대해 얘기한 바 있다.)

$$Y(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식6)$$

 

이제 (식 5)에 (식 6)을 넣어서 정리해보자.

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T_0}Y(f)\right\}{e}^{i2\pi ft}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}\left\{\frac{1}{T_0}Y(f)e^{i2\pi ft}\right\}=\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{\frac{1}{T_0}Y(f)e^{i2\pi ft}\right\}(식7)$$

 

(식 7)을 보면,

• 첫 번째 변환은 $\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}$안으로 지수식을 넣은 것이데, 지수식인 $e^{i2\pi ft}$에는 이미 $T_0\to \mathrm{\infty }$가 반영되어 있기에($f_n$이 $f$로 바뀌어 있다.) $\underset{T_0\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 안에 집어넣은 것이다.
• 두 번째 변환은 시그마와 리미트 식의 순서를 바꾼 것인데, 적분을 하고 나서 더하는 거나, 더한 후 적분을 한 것이나 똑같기에, 순서를 바꿔도 무방하겠다. 

(식 7)에서 $T_0\to \mathrm{\infty }$일 때 $\frac{1}{T_0}=\mathrm{\Delta }f$라고 할 수 있다. 그리고 $T_0\to \mathrm{\infty }=\mathrm{\Delta }f\to 0$이 된다.

여기서 $\mathrm{\Delta }f$는 주파수와 주파수 사이 간격이라고 할 수 있고 그 간격이 $0$으로 수렴하는 값이다. (여기서 $0$으로 수렴하는 $f$의 값을 굳이 $\mathrm{\Delta }f$로 표현한 것은, 정적분에서 아주 작은 간격으로 이루어지는 사각형의 가로축 값으로 이 $\mathrm{\Delta }f$를 사용하기 위함이다. 그렇게 하고 나면, 적분으로의 유도식이 자연스럽게 된다.)

 

$$y(t)=\underset{\mathrm{\Delta }f\to 0}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{\mathrm{\Delta }fY(f)e^{i2\pi ft}\right\}(식8)$$

 

 

(식 8)의 우측 항의 식에서 $Y(f)e^{i2\pi ft}=X(f)$로 보면, 아래식과 같은 형태이고, 이는 정적분의 형태이다.

($Y(f)$도 $f$의 함수이고, $e^{i2\pi ft}$도 $f$의 함수이기에 이 두 식을 합쳐서 어떤 함수 $X(f)$로 놓을 수 있는 것이다.)

 

$$\underset{\mathrm{\Delta }f\to 0}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }f\cdot X(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)df(식8-1)$$

 

위 그림에서, 사각형의 가로는 $\mathrm{\Delta }f$이고, 세로 값은 $X(f)$이고, 이 두 값의 곱이 한 사각형의 면적이 되고, $\mathrm{\Delta }f\to 0$로 수렴시키면서 모든 면적을 더하는 것이 정적분이다.

 

이제 (식 8-1)의 정적분으로의 변형되는 원리를 이용해서 (식 8)의 $\underset{\mathrm{\Delta }f\to 0}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$를 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$로 바꿔서 표현해본다.

$$y(t)=\underset{\mathrm{\Delta }f\to 0}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }f\cdot Y(f)e^{i2\pi ft}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Y(f)e^{i2\pi ft}df(식9)$$

 

여기서 $Y(f)$는 위의 (식 6)에서 아래와 같이 놓은 바 있다.

 

$$Y(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식6)$$

 

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이제 다 되었다. 푸리에 급수로부터 푸리에 변환식이 유도되었다. 

 

위에서 (식 6)을 푸리에 변환이라 하고, (식 9)를 푸리에 역변환이라고 한다. 

 

푸리에 변환식과 역변환식을 다시 적어보자.

 

$$Y(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식10)$$ $$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Y(f)e^{i2\pi ft}df(식11)$$

(식 10)이 푸리에 변환이다. 원래의 신호 $y(t)$로부터 주파수 함수 $Y(f)$로 '변환'했기 때문이다.

 

(식 11)은 푸리에 역변환이다. 주파수 함수 Y(f)로부터 원래의 시간영역으로의 함수 $y(t)$로 변환되기에 '역변환'이라고 부르는 것이다.

 

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유도 과정이 끝났다. 좀, 정리해 보자.

 

우리의 시작은 푸리에 급수였다. 

$$y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{i2\pi f_{n}t}(식2)$$

$$C_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{<T_0>}y(t)e^{-i2\pi f_{n}t}dt(식2-1)$$

 

여기서 주기 $T_0$를 무한대로 보냈고, 이것은 주파수가 $0$에 수렴하는 것과 같고, 이를 위 식에 반영하면, 아래의 푸리에 변환식이 나온 것이다.

$$Y(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-i2\pi ft}dt(식10)$$

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Y(f)e^{i2\pi ft}df(식11)$$

 

푸리에 급수에 대한 식은 $y(t)$를 먼저 적었었고, 푸리에 변환식은 $Y(f)$를 먼저 적었다. 어느 것을 먼저 적느냐에 따라 그 의미가 달라지는 것은 아니다.
 
푸리에 급수의 경우는, 시간에 대한 값으로 표현되는 어떤 신호가 여러 주파수 신호의 합으로 표현되고(식 2), 이때 각 주파수 신호의 계수가 (식 2-1)로 계산된다는 형태의 '의식의 흐름'이 있기에 $y(t)$에 대한 식이 먼저 나오는 것이고,

푸리에 변환의 경우는, 어떤 시간 함수가 주파수 함수 $Y(f)$로 변환될 수 있고 (식 10), 또한 이 주파수 함수를 다시 시간 함수 y(t)로 바꾸는 역변환도 가능하다는 형태의 설명이기에(식 11), 보통 이런 순서로 표현되는 것이다.

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굉장히 깔끔하면서, 뭔가 대칭성도 있어 보이는 멋진 푸리에 변환/역변환 식이 유도되었다.

이 식의 의미는 다음 챕터에서 다루겠다.

 

 

-끝-

 

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