06. 이산 푸리에 변환 (DFT, Discrete Fourier Transform)

지금까지 다뤘던 푸리에 변환은 연속신호에 대한 변환이었다. 연속 시간에 대한 신호와 연속된 주파수에 대한 변환이었다.

 

연속 시간이라는 것은 시간과 시간 사이에 빈틈이 없다는 것이다. 주파수 연속이란 것도 마찬가지로 주파수와 주파수간의 간격이 없이 어떠한 주파수라도 있다는 것이다.

 

반면에, 이산 신호(Discrete Signal)라는 것은 값이 드문 드문 있다는 것이다. 

 

이산(離散) 신호는 시간과 시간 사이가 연속이 아닌, 간격이 있는 신호를 의미한다. 즉, 1초, 2초, 3초, ...처럼 1초 간격으로만 값이 있거나, 0.1ms 마다 값이 있거나 하는 등, 시간을 기준으로 해서 드문드문 값이 있는 신호이다. 

여기서 이산(離散)은, 우리말에서는 "이산 가족" 할 때에나 쓰는 말인데, 영어의 discrete signal(이산 신호), discrete mathematics(이산 수학)처럼, 일본에서 영어를 일본 한자로 바꿔서 사용한 것을, 우리가 다시 사용하는 것으로 생각된다.  중국에서도 discrete signal을 이산신호(离散信号)라고 한다. 

 

mp3로 저장된 음악, mp4로 저장된 영상. 이러한 것들 모두 시간에 대해 연속된 음악신호, 영상신호가 아닌, 유한한 간격을 가진 시간들에서의 신호들을 연결한 것이고, 그 간격이 사람이 인지하지 못할 정도로 짧기에 우리가 그 간격을 인지하지 못하고 연속 신호로 받아들이는 것이다.

 

---

이처럼 컴퓨터에서 다루어지는 모든 신호는 사실 이산신호라 할 수 있다. '연속'이라는 것은 '무한대로 작은 간격'을 의미하고, 유한한 계산능력을 가진 컴퓨터가 처리할 수 없기 때문이다.

 

따라서, 컴퓨터에서의 푸리에 변환은 모두 이산 푸리에 변환에 기반을 둔다. 연속이 아닌, 이산신호에 대한 푸리에 변환인 것이다.

 

---

이산 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)은 이산 시간에 대한 신호와 이산 주파수 신호 간의 변환이다.

 

이전 챕터까지 다뤘던 것은 모두 '연속 시간과 연속 주파수'간의 변환이었다. 

DFT는 '이산 시간과 이산 주파수간의 변환'이고.

 

그렇다면 '이산 시간과 연속 주파수'간의 변환도 생각할 수 있겠는데, 이를 '이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)'이라고 한다.

 

용어들이 좀 헷갈리다. 정리를 해보자.

 

변환 명칭	시간		주파수
CTFT (연속시간 푸리에 변환, Continuous Time Fourier Transform)	연속	$\Leftrightarrow$	연속
DTFT (이산시간 푸리에 변환, Discrete Time Fourier Transform)	이산	$\Leftrightarrow$	연속
DFT (이산 푸리에 변환, Discrete Fourier Transform)	이산	$\Leftrightarrow$	이산

 

---

CTFT, DTFT, DFT의 식이 어떻게 되는지 써보자. (CTFT에 대해서는 이전 챕터까지 설명했고, 아직 DTFT와 DFT에 대해서는 설명하지 않았지만, 미리 식만 써보기로 한다. )

 

CTFT (연속시간  푸리에 변환) : 연속시간 $\Leftrightarrow$ 연속주파수

$$ Y(f)=\int _{-\infty} ^{\infty} {y(t)e^{-i2 \pi ft} dt} \tag{1}$$

$$y(t)=\int _{-\infty} ^{\infty} {Y(f)e^{i2\pi ft} df}  \tag{1-1}$$

---

 

DTFT (이산시간 푸리에 변환):   이산시간 $\Leftrightarrow$ 연속주파수

$$Y(f) = \sum _{n=-\infty} ^{\infty} {y(n)e^{-i2\pi fn}} \tag {2}$$

$$ y(n) = \int _{<1>} {Y(f)e^{i2\pi fn}}df \tag {2-1}$$

---

 

DFT (이산 푸리에 변환):  이산시간 $\Leftrightarrow$ 이산주파수

$$ Y(k) = \sum _{n=0} ^{N-1} {y(n)e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}}, \; \; 0 \leq k < N \tag {3}$$

$$ y(n) = \dfrac {1}{N} \sum _{k=0} ^{N-1} {Y(k)e^{i\frac{2\pi}{N}kn}}, \; \; 0 \leq n < N \tag {3-1} $$

---

 

이제 다음 챕터부터 DFTF와 DFT에 대해서 차례로 차근차근 알아보겠다.

 

-끝-

 

 

이전글: 05-2. 한 신호를 정해서 손으로 푸리에 변환 해보기

다음글: 06-1. 이산시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)

다음다음글: 06-2. 이산 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)