06-1. 이산시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)

시간은 드문드문한 '이산시간'으로, 주파수는 연속으로 가정해서 푸리에 변환하는 것이다. 

 

앞에 챕터 5까지는 연속시간 및 연속주파수를 기준으로 해서 푸리에 변환을 했고, 이것이 푸리에 변환이 모든 것이다.

 

그런데, 실제 컴퓨터를 이용해서 푸리에 트랜스폼을 하려고 할 때는, 시간이 이산이고 주파수도 이산으로 처리해야만 계산이 가능하다. 신호 자체는 연속 시간대에 신호 값이 존재한다고 할지라도, 어차피 컴퓨터에서는 유한한 시간으로 잘라서(예를 들어 1ms 단위로) 신호 값을 저장하고 처리할 수밖에 없고, 주파수의 단위도 연속된 주파수가 아닌 어떤 간격을 가지는 이산 주파수 단위를 사용할 수밖에 없기 때문이다. 따라서, 이러한 이유로 이산 시간 및 이산 주파수일 때 푸리에 변환이 어떻게 이루어지는지를 알아야한다. 이 챕터에서는 시간만 이산시간으로한 상태이고 주파수는 그냥 연속이라고 가정했을 때, 푸리에 변환이 어떻게 되는지를 알아볼 것이다. 

 

바로 이산시간 및 이산 주파수에 대한 푸리에 변환(DFT, Discrete Fourier Transform)으로 안 넘어가는 이유는,  단계적인 설명을 하기 위해서다. CTFT(연속 푸리에 변환)에서 DTFT로 넘어갈 때는 시간에 대한 샘플링 개념을 적용해서 가능하고, DTFT에서 DFT로 넘어가는 것은 주파수에 대한 샘플링 개념을 추가로 적용해서 가능하기에, 차근차근 넘어가는 것이다.  

 

시간에 대한 샘플링

먼저 이산시간이라는 것에 대해 알아보자. 

 

이산 시간이라는 것은 연속 시간이 아닌 시간과 시간 사이에 간격이 있다는 것이다. 따라서, 이산 시간에 대한 신호라는 것은, 어떤 신호에 대해서 시간 간격을 두면서 측정한 신호이다. 

 

이처럼 연속된 시간에서의 아날로그적 신호를, 이산 시간에서만 값을 가지는 신호로 변환하는 것을 신호 샘플링(sampling)이라고 한다. 

 

예를 들어, 2Hz 주파수를 가지는 연속신호에 대해 5Hz로 샘플링한 이산 신호를 생각해보자.

(a)는 2Hz인 신호이다. 

주파수가 f일때의 신호 파형을 $cos{(2\pi f t)}$로 표시할 수 있기에(이 부분을 모르겠다면 여기 참조), 주파수가 2Hz이면 $cos{2\pi 2 t}$인 신호가 되겠다.

 

(b)는 2Hz인 신호를 5Hz로 샘플링하는 모습니다. 

여기서 주의할 것은, 0~1까지를 5개 간격으로 나누는 것이 5Hz라는 점이다. 

 

(c)는 (b)와 같이 샘플링한 결과인, 이산시간 신호이다. 원래 신호 값을 나타내는 신호식 $cos{(2\pi f t)}$에, t의 값을 각각 넣어 보면 다음과 같다.

 

점 위치(t)	신호 값
0	$\cos{2\pi 2 \cdot 0 }$
$\frac{1}{5}$	$\cos{2\pi 2 \cdot \frac{1}{5} }$
$\frac{2}{5}$	$\cos{2\pi 2 \cdot \frac{2}{5} }$
$\frac{3}{5}$	$\cos{2\pi 2 \cdot \frac{3}{5} }$
$\frac{4}{5}$	$\cos{2\pi 2 \cdot \frac{4}{5} }$
$\frac{5}{5}$	$\cos{2\pi 2 \cdot \frac{5}{5} }$

위에서 신호값의 형태를 보면, 뒤 쪽 부분의 분자 값이 {0, 1, 2, 3, 4, 5}로, 정수 값을 가진다. 따라서, 신호 값을 정수 n을 사용해서 $\cos{(2\pi \frac{n}{5}n)}$과 같이 표현할 수 있겠다.

 

즉, 연속시간 t에 대한 신호 값을 $t=\frac{n}{5}$으로 샘플링했을 때 다음과 같은 변환이 일어났다.

 

$$ y(t) = \cos{(2\pi 2 t)} \rightarrow y(n) = \cos{(2\pi \frac{2}{5}n)} $$

 

$y(n)$의 주파수는 $\frac{2}{5}$라고 할 수 있는데, 이때의 주파수는 시간에 대한 주기의 변화를 나타내는 Hz를 나타내는 것이 아니고 "샘플당 반복 수" 단위를 가지는 새로운 주파수 변수가 된다. (이처럼 시간에 대한 주기를 나타내는 주파수와, 샘플당 주기를 나타내는 주파수를 구분하기 위해, 하나는 대문자 F, 다른 하나는 소문자 f를 써서 구분하기도 하는데, 여기서는 그대로 소문자 f만을 써서 표현한다.)

 

샘플당 반복수라는 것은, 샘플 주기당 몇 번의 반복이 있는가를 나타내는 것인데, 위의 경우를 보면 샘플링 주기가 5이고, 이 주기 동안 2번의 반복이 있다. 따라서 $f=\frac{2}{5}$

주기 T=5이기에 기본 주파수 $f_0=\frac{1}{5}$  (기본 주파수는, 신호에 있어서 가장 기본이 되는 작은 주파수를 의미)

 

이산 시간 주기 신호의 특징 1: $f_0$를 기약 분수로 나타냈을 때, 분모가 기본 주기가 됨

위에서 처럼, 이산 시간에 샘플링된 신호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.  (진폭은 1, 위상은 0으로 단순화해서 표현)

 

$$ y(n) = \cos{(2\pi f_0 n)}$$

 

여기서 $f_0$는 샘플링 주기의 역수가 되는 값 

 

신호 $y(n)$이 주기 신호라면, 주기 N에 대해 다음과 같은 식이 성립해야 한다.

 

$$ \cos{(2\pi f_0 n)} = \cos{(2\pi f_0(n+N))}$$

 

즉, 주기가 N이기에, N을 더한 지점에서의 값은 같아야 한다는 의미이다.

 

위 식에서 오른편 식을 풀어서 쓰면, $ \cos{(2\pi f_0 n)} = \cos{(2\pi f_0 n + 2\pi f_0 N)}$이기에 $f_0 N$이 정수가 되어야 한다.  (코사인 함수의 성질임. 코사인 함수의 주기가 $2\pi$이기에 $\cos {x} = \cos{(x+2\pi \cdot 정수)}$가 되는 것임)

 

$f_0N$이 정수이고, 이때의 정수를 $m$이라고 한다면 $f_0N=m$이기에, 

$$ f_0=\frac{m}{N}$$

 

따라서, 기본 주파수 $f_0$를 가장 간단한 형태의 분수로 표현할 때, 분모가 해당 신호의 기본 주기가 된다.

예를 들어, $cos{(2\pi \frac{3}{5}n+\frac{\pi}{3} )}$의 기본 주기는 5이다.

 

이산 시간 주기 신호의 특징 2: 주파수 $f$는 1 단위로 반복됨

위에서 주기 신호의 특성 및 코사인 함수의 성질에 의해 아래와 같은 식이 성립한다.

 

$$ \cos{(2\pi fn)} = \cos{(2\pi (f+1)n)} = \cos{(2\pi (f+2)n)} = ... $$

 

즉, 주파수가 정수만큼 변하면 같은 신호가 된다. 

예를 들어,

 

$$  \cos{(2\pi \frac{2}{5}n)} = \cos{(2\pi (\frac{2}{5}+1)n)} = \cos{(2\pi (\frac{2}{5}+2)n)} = ... $$

 

따라서, 어떤 주파수가 있는지를 살펴볼 때는 $f \le 1$ 영역만 살펴보면 된다. ($f$는 분수 형태이고, 0~1까지의 값만 살펴보면 된다는 얘기가 된다. 1 이상의 값은 0~1 사이의 주파수와 동일한 값이기 때문이다.)

 

굳이, 이산 시간 주기 신호의 특성을 알아본 이유는, 우리의 최종 목표인 DTFT의 유도를 할 때, 주파수 구간에 대한 고려를 0~1 사이까지만 해도 된다는 것을 알아내기 위함이다. 이 페이지의 맨 아래쪽에서 DTFT를 CTFT에서 유도할 때 사용할 것이다. 

 

CTFT에서 DTFT로의 수식 유도

 

CTFT의 수식은 다음과 같았다.

 

$$ Y(f)=\int _{-\infty} ^{\infty} {y(t)e^{-i2 \pi ft} dt} \tag{1}$$

$$y(t)=\int _{-\infty} ^{\infty} {Y(f)e^{i2\pi ft} df}  \tag{1-1}$$

 

 

(1)번 식에서, $f(t)$를 $f(n)$으로 바꾸고, 시간 $t$에 대한 적분을 모든 $n$에 대한 합으로 바꾸면, 아래 (2)와 같은 식이 된다. (시간이 연속형이 아닌 이산형이기에, 적분이 아닌 합으로 변환된 것임)

 

$$Y(f) = \sum _{n=-\infty} ^{\infty} {y(n)e^{-i2\pi fn}} \tag {2}$$

 

이제 (1-1)을 변형시켜볼 것이다.

(1)을 변형시킬 때와 동일하게 $f(t)$를 $f(n)$으로 바꾸고, $y(t)$도 $n$에 대한 함수 식인 $y(n)$으로 바꾼다. 그리고, 적분의 범위는 무한대가 아닌 주파수가 1 이하의 구간에 대해서만 적분을 한다. 이유는, 위에서 이산 시간 주기 함수의 특징에서 알아봤듯이, 주파수가 1보다 큰 값은 중복된 값이기에, 1보다 작은 값에 대해서만 계산을 수행해야 하는 것이다. 만약 1보다 큰 주파수까지 적분을 하게 되면, 동일한 주파수에 대해서 중복해서 더해지는 것이기에 안된다. 

 

$$ y(n) = \int _{<1>} {Y(f)e^{i2\pi fn}}df \tag {2-1}$$

 

식 (2)와 (2-1)이, 이산 시간 푸리에 변환식이다.

 

 

- 끝-

 

 

 

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