앞에서 복소평면에서 반지름이 1인 원을 그리는 함수가 $C(x) = \cos x + i\sin x$ 임을 알아봤다. 이것이 $e^{i \theta}$와 같다는 것을 보이는 것이 최종 목표이고, 증명 방법은 사인과 코사인 함수로 표현된 $C(x)$를 일반 다항식으로 바꾸고 이것이 $e^{ix}$와 같다는 것을 보일 것이다.
$C(x)$를 다항식으로 전개하기 전에, 먼저 오일러 수(Euler's Number) $e^{i \theta}$에 대해 알아보자.
오일러 수 (Euler's Number)
$e$는 오일러 수(Euler's Number)이고, $e=2.718...$ 정도의 값을 가지는 무리수이고, $e^x$를 미분하면 그대로 $e^x$가 되는 특성을 가지고 있는 수이다.
$$ (e^x)' = e^x$$
미분의 의미
미분한 것이 자기 자신이 된다는 것이 어떤 의미일까? 좀 깊게 생각해 보자.
$y =x$를 미분하면 $1$이 된다. $(y=x)' = 1$
이것은, $x$의 값 어디에서든 그 기울기가 같다는 의미이다. $x=2$에서도, $x=10$에서도 그 기울기는($x$의 단위 증가에 따른 $y$의 증가분) $1$이 되어 같다. 즉, 기울기는 x의 값이 작아도 1이고, 커도 1이다.
$y=x^2$에 대한 미분 값은 $2x$이다. $(y=x^2)'=2x$
$x=2$일 때의 기울기는 $2 \times 2=4$이고, $x=6$일 때의 기울기는 $2 \times 6 = 12$로, $x$가 커질수록 기울기가 더 커진다.
$x$에 대해 같은 양 $a$를 증가시킬 때, $x$가 작은 수일 때 증가시킨 것과, $x$가 큰 수 일 때 $a$를 증가시킨 것이랑 비교하면, $x$가 큰 수일 때 증가시킨 것이 더 $y$의 변화량이 크다는 얘기다.
예를 들어, 물건을 위에서 밑으로 떨어뜨릴 때, 초기 2초일 때의 위치와 1초가 지난 3초일 때의 위치 차이는 5가 나지만, 좀 더 시간이 흘러 6초일 때의 위치와 1초가 흐른 7초일 때의 위치 차이는 13으로, 2~3초일 때의 차 5보다 더 큰 차이를 보인다는 것이다.
| 그래프에서 $x=2$일 때의 기울기는, $y=x^2$의 미분값인 $2x$를 이용하면 $4$이다. 예시에서, 2초->3초로일 때의 기울기는 5로 계산되었는데(4가 아닌), 이는 2초~3초까지라는 $\delta x=1초$가 너무 크기 때문이다. 이를 2초~2.001초 정도로 해서 $\delta x = 0.001$이 되게 하면 기울기는 $4.001$이 나온다. (거의 4가 됨) |
지수함수의 미분
지수함수는 $(y=a^x)'$처럼 미지수 $x$가 지수에 있는 것을 말한다.
| 지수적 표현이란 $2\times 2 \times 2$을 $2^3$으로 표현하는 것을 말하고, 여기서 $2$를 밑(base)이라하고 $3$을 지수(exponent)라한다. 지수의 성질을 보면, $a^m \times a^n = a^{(m+n)}$ $a^m \div a^n = a^{(m-n)}$ |
지수함수 $y=a^x$를 미분하면 $(y=a^x)' = a^x \ln a$가 된다. 여기서 $\ln a= \log _{e}{a}$로, 밑이 오일러 수 $e$인 로그이다.
이것의 의미를 생각해보자.
미분을 한 값이 자기 자신인 $a^x$에 어떤 값 $\ln a$를 곱한 것이기에, $\ln a$가 $1$보다 작으면 미분 값이 자기보다 작은 것이 되고, $\ln a$가 1보다 크면 미분 값이 자신보다 더 크게 된다.
여기서 $\ln a$가 $1$보다 작은 경우는 $a <e$인 것이고, $\ln a$가 $1$보다 큰 경우는 $a> e$인 경우이다.
$ (y=a^x)' = a^x \ln a$
$(\ln a < 1) = (a < e) \Rightarrow y' < y $
$(\ln a > 1) = (a > e) \Rightarrow y' > y $
$(\ln a =1) = (a = e) \Rightarrow y' = y $
참조로 $y= \log {a}{x}$의 그래프는 다음과 같다.
실제로 $a=2$일 때의 $y=2^x$와, $a=3$일 때의 $y=3^x$에 대해 미분을 한 후 그래프를 그려보면 아래와 같다. $y=2^x$와 $y=3^x$, 그리고 그 미분 값에 해당하는 그래프의 위치를 주의해서 본다.
$y=2^x$의 미분 그래프는 $y=2^x$보다 아래 쪽에 있고, $y=3^x$의 미분 그래프는 $y=3^x$보다 더 위 쪽에 있음을 알 수 있다.
그렇다면, 미분값이 원래의 지수함수와 같게 되는 $a$값은 얼마인가? 그 값은 약 $2.718$ 정도의 값이고, 이 수를 $e$라고 약속한 것이다.
$e$ 값의 계산
$y=a^x$에 대해 미분했을 때 자기 자신이 될 때의 $a$값이 $e$라는 정의를 이용해서 $e$값을 구해보도록 하겠다.
| $e$를 구하는 과정은 푸리에 변환이나 오일러 공식을 이해하는데 필수로 이해해야하는 것이 아니다. 귀찮은 사람은 풀이과정을 안 봐도 된다. |
유도는, $y=a^x$를 미분하고, 미분된 결과가 자기 자신인 $a^x$가 될 때의 $a$를 구하는 형태로 진행될 것이다.
미분은, 미분의 정의를 써서 계산될 것이다. 즉,
$$\frac {dy}{dx} = \lim _{\Delta x \rightarrow 0}{\frac {y+\Delta y}{x+\Delta x}}$$
미분을 할 때 $y=a^x$에 대해서 직접 하지 않고, 이를 로그로 변환한 후 할 것이다. ($y=a^x$에 대해 직접 미분 전개를 하면 원하는 결과가 안 나온다. )
$y=a^x$를 로그로 변환하면,
$$ x = \log _{a}{y}$$
미분을 위해 증분값 $\Delta x$와 $\Delta y$를 더해보면,
$ x + \Delta x = \log _{a}{(y + \Delta y)}$
$ \Delta x = \log _{a}{(y+\Delta y)}-x $
여기서 $x=\log _{a}{y}$이므로,
$\Delta x = \log _{a}{(y+\Delta y)} - \log _{a}{y} = \log _{a}{\frac {y+\Delta y}{y}} = \log _{a}{(1+\frac {\Delta y}{y})}$
$y$에 대한 증분값 $\Delta y$를 적용해보면,
$\frac {\Delta x}{\Delta y} = \frac {1}{\Delta y} \log _{a}{(1+\frac {\Delta y}{y}) }$
$\log$안에 있는 $\frac {\Delta y}{y}$를 이용하기 위해, 이것의 역수를 지수승 한다. 그리고 $\log _{a}{N^P} = P\log _{a}{N}$이 되는 로그의 성질을 이용하면,
$$ \log _{a}{(1+\frac {\Delta y}{y})} = \frac {\Delta y}{y} \log _{a}{(1+{\frac {\Delta y}{y}})^{\frac {y}{\Delta y}}} $$
따라서,
$\frac {\Delta x}{\Delta y} = \frac {1}{\Delta y} \frac {\Delta y}{y} \log _{a}{(1+{\frac {\Delta y}{y}})^{\frac {y}{\Delta y}}}=\frac {1}{y} \log _{a}{(1+{\frac {\Delta y}{y}})^{\frac {y}{\Delta y}}}$
이제 $\Delta y \rightarrow 0$으로 가는 극한값을 취해보면,
$\frac {dx}{dy} = \lim _{\Delta y \rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}} = \frac {1}{y} \log _{a}{ \lim _{\Delta y \rightarrow 0}{ {(1+\frac {\Delta y}{y})}^{\frac {y}{\Delta y}} } }$
여기서 $\lim _{\Delta y \rightarrow 0}{ {(1+\frac {\Delta y}{y})}^{\frac {y}{\Delta y}} } = A$로 치환하면,
$\frac {dx}{dy} = \frac {1}{y} \log _{a}{A}$
구하려는 미분값은 $\frac {dy}{dx}$이다. 따라서, $\frac {dx}{dy}$의 역수를 취해서 $\frac {dy}{dx}$가 되게 하자.
$\frac {dy}{dx} = {y} \frac {1}{\log _{a}{A}} $
$y=a^x$이므로,
$\frac {dy}{dx} = {a^x} \frac {1}{\log _{a}{A}} $
이제 $y=a^x$를 미분했을 때 자기 자신인 $a^x$가 될 수 있는 힌트를 찾았다. 위 미분식에서 $\frac {1}{\log _{a}{A}}=1$이 되면 되겠다. $\frac {1}{\log _{a}{A}}=1$이 되려면 $\log _{a}{A}=1$이라야 하고, 이것은 $a=A$일 때 $1$이 될 것이다.
즉, $a=A$일 때 $y'=(a^x)'=a^x$가 되고, 이 A가 오일러 수 $e$이다.
그렇다면 $A$의 값은 어떻게 될까? 위에서 $A = \lim _{\Delta y \rightarrow 0}{ {(1+\frac {\Delta y}{y})}^{\frac {y}{\Delta y}} }$였다.
이 식에서 $t=\frac {\Delta y}{y}$로 치환하면, $\Delta y \rightarrow 0$일 때 역시 $t \rightarrow 0$이기에, $A$를 $t$를 이용해서 표현할 수 있다.
$$ A = \lim _{t \rightarrow 0}{ {(1+t)}^{\frac {1}{t}} }$$
이 식에서 $t$의 값을 0에 가깝게 넣어 보면 A의 값이 나온다.
$e^{ix}$의 미분
위에서 $y=a^x$를 미분했을 때 자기 자신이 되는 $a$값인 $e$에 대해 알아봤다. 즉, $e$는 $y'=(e^x)'=e^x$이다.
그렇다면 $e^{ix}$를 미분하면 어떻게 될까? 이것이 이번 장에서 알아봐야 할 대상이다.
먼저, $e^{ax}$에 대한 미분부터 알아보자. 합성함수의 미분법을 이용해서 계산하겠다.
| 합성함수의 미분은 $x$가 어떤 함수 $z(x)$로 주어졌을 때의 미분법으로 $\frac {dy}{dz} \cdot \frac {dz}{dx}$로 계산된다. 예를 들어, $y = {(x^3+2x)}^5$를 미분한다면, 먼저 $z=(x^3+2x)$로 두면, $y=z^5$이 된다. 따라서, $\frac {dy}{dx} = 3x^2+2$이고, $\frac {dy}{dz}=5z^4$이다. 여기서 합성함수의 공식을 적용하면, $\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{dz} \cdot \frac {dz}{dx} = 5z^4 \cdot (3x^2+2) = 5{(x^3+2x)}^4(3x^2+2)$ |
$y'=(e^{ax})'$을 구하기 위해 $ax = z$로 치환하면,
$\frac {dy}{dz} = (e^z)' = e^z$이고, $\frac {dz}{dx} = (ax)' = a$
따라서, $\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{dz} \cdot \frac {dz}{dx} = e^z \cdot a = ae^z = ae^{ax}$
즉, $e^{ax}$를 미분하면 원래의 함수 $e^{ax}$에 $a$를 곱한 값이 된다.
$e^{ax}$에 대해 2차 미분을 해보자. 1차 미분한 것을 다시 한번 더 미분하는 것이다.
$y'' = (e^{ax})'' = (ae^{ax})' = a \cdot a \cdot e^{ax} = a^2e^{ax}$
3차 미분은 2차미분한 것을 한번 더 하는 것이다.
$y''' = (e^{ax})''' = ((e^{ax})'')' = (a^2e^{ax})' = a^3e^{ax}$
4차 미분은, (4차미분의 표시는 괄호 안에 미분 차수를 적어서 표현하자.)
$y^{[4]} = (y''')' = (a^3e^{ax})' = a^4e^{ax}$
이제 규칙성을 알겠다. $e^{ax}$를 $n$차 미분하면,
$y^{[n]} = a^ne^{ax}$
$y=e^{ax}$에서 $a$가 허수 $i$인 경우의 미분을 생각해보자. 즉, $e^{ix}$에 대한 미분이다.
위의 $e^{ax}$를 $n$차 미분식인 $y^{[n]} = a^ne^{ax}$를 이용해 보면
1차 미분: $i^1e^{ix} = ie^{ix}$
2차 미분: $i^2e^{ix} = -e^{ix}$
3차 미분: $i^3e^{ix} = -ie^{ix}$
4차 미분: $i^4e^{ix} = e^{ix}$
5차 미분: $i^5e^{ix} = ie^{ix}$
6차 미분: $i^6e^{ix} = -e^{ix}$
7차 미분: $i^7e^{ix} = -ie^{ix}$
8차 미분: $i^8e^{ix} = e^{ix}$
...
어떤 규칙이 있음을 알 수 있다. 4개씩 묶음으로 해서 값이 규칙적으로 나오고 있다. 이는 허수 $i$를 거듭제곱했을 때 ${ (i^1, i^2, i^3, i^4), (i^5, i^6, i^7, i^8),...}$의 값이 ${ (i, -1, -i, 1), (i, -1, -i, 1),.. }$과 같이 규칙적으로 나오기 때문이다.
이번 장에서는 오일러 수 $e$에 대해 알아봤다. $y=a^x$를 미분하면 자기 자신인 $y=a^x$가 나올 때의 $a$값이 $e$이다. 즉, $(e^x)' = e^x$이다.
이러한 $e$를 이용한 지수함수에다 지수부에 허수 $i$를 집어넣은 $e^{ix}$에 대한 미분 값도 알아봤다.
미분 값은 4번 묶음으로 해서, 반복해서 같은 값이 나오는 특이한 특성을 보이고 있었다.
다음 장에서는 왜 $e^{ix}$에 대한 미분 값을 알아봤는지 그 이유를 알 수 있는 전개가 펼쳐질 것이다.
-끝-
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