04-2. 복소 지수, 자연 상수 e

앞에서 복소평면에서 반지름이 1인 원을 그리는 함수가 $C(x)=\cos x+i\sin x$ 임을 알아봤다. 이것이 $e^{i\theta }$와 같다는 것을 보이는 것이 최종 목표이고, 증명 방법은 사인과 코사인 함수로 표현된 $C(x)$를 일반 다항식으로 바꾸고 이것이 $e^{ix}$와 같다는 것을 보일 것이다.

 

$C(x)$를 다항식으로 전개하기 전에, 먼저 오일러 수(Euler's Number) $e^{i\theta }$에 대해 알아보자.

 

오일러 수 (Euler's Number)

$e$는 오일러 수(Euler's Number)이고, $e=2.718...$ 정도의 값을 가지는 무리수이고, $e^x$를 미분하면 그대로 $e^x$가 되는 특성을 가지고 있는 수이다.

 

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

 

---

미분의 의미

 

미분한 것이 자기 자신이 된다는 것이 어떤 의미일까? 좀 깊게 생각해 보자.

 

$y=x$를 미분하면 $1$이 된다. $(y=x{)}^{\prime }=1$

 

이것은, $x$의 값 어디에서든 그 기울기가 같다는 의미이다. $x=2$에서도, $x=10$에서도 그 기울기는($x$의 단위 증가에 따른 $y$의 증가분) $1$이 되어 같다. 즉, 기울기는 x의 값이 작아도 1이고, 커도 1이다. 

 

 

$y=x^2$에 대한 미분 값은 $2x$이다. $(y=x^2{)}^{\prime }=2x$

$x=2$일 때의 기울기는 $2\times 2=4$이고, $x=6$일 때의 기울기는 $2\times 6=12$로, $x$가 커질수록 기울기가 더 커진다.

$x$에 대해 같은 양 $a$를 증가시킬 때, $x$가 작은 수일 때 증가시킨 것과, $x$가 큰 수 일 때 $a$를 증가시킨 것이랑 비교하면, $x$가 큰 수일 때 증가시킨 것이 더 $y$의 변화량이 크다는 얘기다.

 

 

 

예를 들어, 물건을 위에서 밑으로 떨어뜨릴 때, 초기 2초일 때의 위치와 1초가 지난 3초일 때의 위치 차이는 5가 나지만, 좀 더 시간이 흘러 6초일 때의 위치와 1초가 흐른 7초일 때의 위치 차이는 13으로, 2~3초일 때의 차 5보다 더 큰 차이를 보인다는 것이다.

 

그래프에서 $x=2$일 때의 기울기는, $y=x^2$의 미분값인 $2x$를 이용하면 $4$이다.  예시에서, 2초->3초로일 때의 기울기는 5로 계산되었는데(4가 아닌), 이는 2초~3초까지라는 $\delta x=1초$가 너무 크기 때문이다. 이를 2초~2.001초 정도로 해서 $\delta x=0.001$이 되게 하면 기울기는 $4.001$이 나온다. (거의 4가 됨)

 

---

지수함수의 미분

 

지수함수는 $(y=a^x{)}^{\prime }$처럼 미지수 $x$가 지수에 있는 것을 말한다. 

지수적 표현이란 $2\times 2\times 2$을 $2^3$으로 표현하는 것을 말하고, 여기서 $2$를 밑(base)이라하고 $3$을 지수(exponent)라한다.  지수의 성질을 보면,     $a^m\times a^n=a^{(m+n)}$     $a^m÷a^n=a^{(m-n)}$

 

지수함수 $y=a^x$를 미분하면 $(y=a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$가 된다. 여기서 $\ln a={\log }_{e}a$로, 밑이 오일러 수 $e$인 로그이다. 

 

이것의 의미를 생각해보자. 

 

미분을 한 값이 자기 자신인 $a^x$에 어떤 값 $\ln a$를 곱한 것이기에, $\ln a$가 $1$보다 작으면 미분 값이 자기보다 작은 것이 되고, $\ln a$가 1보다 크면 미분 값이 자신보다 더 크게 된다. 

여기서 $\ln a$가 $1$보다 작은 경우는 $a<e$인 것이고, $\ln a$가 $1$보다 큰 경우는 $a>e$인 경우이다. 

 

    $(y=a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

 

    $(\ln a<1)=(a<e)\Rightarrow y^{\prime }<y$

    $(\ln a>1)=(a>e)\Rightarrow y^{\prime }>y$

    $(\ln a=1)=(a=e)\Rightarrow y^{\prime }=y$

 

 

 

참조로 $y=\log ax$의 그래프는 다음과 같다.

 

 

실제로 $a=2$일 때의 $y=2^x$와, $a=3$일 때의 $y=3^x$에 대해 미분을 한 후 그래프를 그려보면 아래와 같다. $y=2^x$와 $y=3^x$, 그리고 그 미분 값에 해당하는 그래프의 위치를 주의해서 본다.

 

$y=2^x$의 미분 그래프는 $y=2^x$보다 아래 쪽에 있고, $y=3^x$의 미분 그래프는 $y=3^x$보다 더 위 쪽에 있음을 알 수 있다. 

 

그렇다면, 미분값이 원래의 지수함수와 같게 되는 $a$값은 얼마인가? 그 값은 약 $2.718$ 정도의 값이고, 이 수를 $e$라고 약속한 것이다. 

 

(파이썬 코드: https://github.com/rhaos68/fourier/blob/master/exp_graph.py )

---

$e$ 값의 계산

$y=a^x$에 대해 미분했을 때 자기 자신이 될 때의 $a$값이 $e$라는 정의를 이용해서 $e$값을 구해보도록 하겠다. 

 

$e$를 구하는 과정은 푸리에 변환이나 오일러 공식을 이해하는데 필수로 이해해야하는 것이 아니다. 귀찮은 사람은 풀이과정을 안 봐도 된다.

유도는, $y=a^x$를 미분하고, 미분된 결과가 자기 자신인 $a^x$가 될 때의 $a$를 구하는 형태로 진행될 것이다.

 

미분은, 미분의 정의를 써서 계산될 것이다. 즉,

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{y+\mathrm{\Delta }y}{x+\mathrm{\Delta }x}$$

 

 

미분을 할 때 $y=a^x$에 대해서 직접 하지 않고, 이를 로그로 변환한 후 할 것이다. ($y=a^x$에 대해 직접 미분 전개를 하면 원하는 결과가 안 나온다. )

 

$y=a^x$를 로그로 변환하면,

$$x={\log }_{a}y$$

 

미분을 위해 증분값 $\mathrm{\Delta }x$와 $\mathrm{\Delta }y$를 더해보면,

 

    $x+\mathrm{\Delta }x={\log }_a(y+\mathrm{\Delta }y)$

    $\mathrm{\Delta }x={\log }_a(y+\mathrm{\Delta }y)-x$

 

여기서 $x={\log }_{a}y$이므로,

    $\mathrm{\Delta }x={\log }_a(y+\mathrm{\Delta }y)-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{y+\mathrm{\Delta }y}{y}={\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})$

 

$y$에 대한 증분값 $\mathrm{\Delta }y$를 적용해보면,

    $\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }y}{\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})$

 

$\log$안에 있는 $\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}$를 이용하기 위해, 이것의 역수를 지수승 한다. 그리고 ${\log }_a{N}^P=P{\log }_{a}N$이 되는 로그의 성질을 이용하면,

$${\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})=\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}{\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}{)}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}$$

 

따라서, 

    $\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }y}\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}{\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}{)}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}=\frac{1}{y}{\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}{)}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}$

 

이제 $\mathrm{\Delta }y\to 0$으로 가는 극한값을 취해보면,

    $\frac{dx}{dy}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{1}{y}{\log }_a\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}{(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}$

 

여기서 $\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}{(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}=A$로 치환하면,

    $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}{\log }_{a}A$

 

구하려는 미분값은 $\frac{dy}{dx}$이다. 따라서, $\frac{dx}{dy}$의 역수를 취해서 $\frac{dy}{dx}$가 되게 하자.

    $\frac{dy}{dx}=y\frac{1}{{\log }_{a}A}$

 

$y=a^x$이므로,

    $\frac{dy}{dx}=a^x\frac{1}{{\log }_{a}A}$

 

이제 $y=a^x$를 미분했을 때 자기 자신인 $a^x$가 될 수 있는 힌트를 찾았다. 위 미분식에서 $\frac{1}{{\log }_{a}A}=1$이 되면 되겠다. $\frac{1}{{\log }_{a}A}=1$이 되려면 ${\log }_{a}A=1$이라야 하고, 이것은 $a=A$일 때 $1$이 될 것이다. 

 

즉, $a=A$일 때 $y^{\prime }=(a^x{)}^{\prime }=a^x$가 되고, 이 A가 오일러 수 $e$이다. 

 

그렇다면 $A$의 값은 어떻게 될까? 위에서 $A=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}{(1+\frac{\mathrm{\Delta }y}{y})}^{\frac{y}{\mathrm{\Delta }y}}$였다. 

이 식에서 $t=\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}$로 치환하면, $\mathrm{\Delta }y\to 0$일 때 역시 $t\to 0$이기에, $A$를 $t$를 이용해서 표현할 수 있다.

 

$$A=\underset{t\to 0}{lim}{(1+t)}^{\frac{1}{t}}$$

 

이 식에서 $t$의 값을 0에 가깝게 넣어 보면 A의 값이 나온다. 

---

$e^{ix}$의 미분

위에서 $y=a^x$를 미분했을 때 자기 자신이 되는 $a$값인 $e$에 대해 알아봤다. 즉, $e$는 $y^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }=e^x$이다. 

 

그렇다면 $e^{ix}$를 미분하면 어떻게 될까? 이것이 이번 장에서 알아봐야 할 대상이다.

 

먼저, $e^{ax}$에 대한 미분부터 알아보자. 합성함수의 미분법을 이용해서 계산하겠다.

 

합성함수의 미분은 $x$가 어떤 함수 $z(x)$로 주어졌을 때의 미분법으로 $\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}$로 계산된다.  예를 들어, $y={(x^3+2x)}^5$를 미분한다면,  먼저 $z=(x^3+2x)$로 두면, $y=z^5$이 된다. 따라서, $\frac{dz}{dx}=3x^2+2$이고, $\frac{dy}{dz}=5z^4$이다. 여기서 합성함수의 공식을 적용하면, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}=5z^4\cdot (3x^2+2)=5{(x^3+2x)}^4(3x^2+2)$

$y^{\prime }=(e^{ax}{)}^{\prime }$을 구하기 위해 $ax=z$로 치환하면,

$\frac{dy}{dz}=(e^z{)}^{\prime }=e^z$이고, $\frac{dz}{dx}=(ax{)}^{\prime }=a$

 

따라서, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}=e^z\cdot a=a{e}^z=a{e}^{ax}$

 

즉, $e^{ax}$를 미분하면 원래의 함수 $e^{ax}$에 $a$를 곱한 값이 된다. 

 

---

$e^{ax}$에 대해 2차 미분을 해보자. 1차 미분한 것을 다시 한번 더 미분하는 것이다. 

    $y^{″}=(e^{ax}{)}^{″}=(a{e}^{ax}{)}^{\prime }=a\cdot a\cdot e^{ax}=a^2{e}^{ax}$

 

3차 미분은 2차미분한 것을 한번 더 하는 것이다. 

   $y^{‴}=(e^{ax}{)}^{‴}=((e^{ax}{)}^{″}{)}^{\prime }=(a^2{e}^{ax}{)}^{\prime }=a^3{e}^{ax}$

 

4차 미분은,  (4차미분의 표시는 괄호 안에 미분 차수를 적어서 표현하자.)

   $y^{[4]}=(y^{‴}{)}^{\prime }=(a^3{e}^{ax}{)}^{\prime }=a^4{e}^{ax}$

 

이제 규칙성을 알겠다. $e^{ax}$를 $n$차 미분하면,

    $y^{[n]}=a^n{e}^{ax}$   

 

---

$y=e^{ax}$에서 $a$가 허수 $i$인 경우의 미분을 생각해보자. 즉, $e^{ix}$에 대한 미분이다. 

위의 $e^{ax}$를 $n$차 미분식인 $y^{[n]}=a^n{e}^{ax}$를 이용해 보면 

 

    1차 미분: $i^1{e}^{ix}=i{e}^{ix}$

    2차 미분: $i^2{e}^{ix}=-e^{ix}$

    3차 미분: $i^3{e}^{ix}=-i{e}^{ix}$

    4차 미분: $i^4{e}^{ix}=e^{ix}$

 

    5차 미분: $i^5{e}^{ix}=i{e}^{ix}$

    6차 미분: $i^6{e}^{ix}=-e^{ix}$

    7차 미분: $i^7{e}^{ix}=-i{e}^{ix}$

    8차 미분: $i^8{e}^{ix}=e^{ix}$

    ...

 

어떤 규칙이 있음을 알 수 있다. 4개씩 묶음으로 해서 값이 규칙적으로 나오고 있다. 이는 허수 $i$를 거듭제곱했을 때 $(i^1,i^2,i^3,i^4),(i^5,i^6,i^7,i^8),...$의 값이 $(i,-1,-i,1),(i,-1,-i,1),..$과 같이 규칙적으로 나오기 때문이다.

 

---

이번 장에서는 오일러 수 $e$에 대해 알아봤다. $y=a^x$를 미분하면 자기 자신인 $y=a^x$가 나올 때의 $a$값이 $e$이다. 즉, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$이다. 

 

이러한 $e$를 이용한 지수함수에다 지수부에 허수 $i$를 집어넣은 $e^{ix}$에 대한 미분 값도 알아봤다.

미분 값은 4번 묶음으로 해서, 반복해서 같은 값이 나오는 특이한 특성을 보이고 있었다. 

 

다음 장에서는 왜 $e^{ix}$에 대한 미분 값을 알아봤는지 그 이유를 알 수 있는 전개가 펼쳐질 것이다.

 

-끝-

 

 

이전글: 04-1. 복소 평면, 복소평면에서의 원

다음글: 04-3. 매클로린 급수, 오일러 공식

다음다음글: 04-4 푸리에 급수를 복소지수로 표현하기