06-7. 엑셀을 이용한 DFT 계산(4/4)

 

[예제 4] N값을 크게 해서 주파수 분해능을 높이기

 

두 개의 코사인 파가 합쳐진 신호를 가지고 분석해 볼 것이다.

 

• 신호 수식: 1 kHz와 1.1kHz의 정현파가 합쳐진 신호  --> $\cos{2\pi \cdot 1000t} + \cos{2\pi \cdot 1100t}$
• 샘플링 주파수($f_s$): 8kHz
• y(n)에 대한 수식: =ROUND(COS(2*PI()*(1/8)*B14)+COS(2*PI()*(11/80)*B14),2)

 

 

주파수 샘플링에 대한 주기 N=32로 해서 계산해보자.

W(n,k)를 구하기 위해 셀 "E14"에 수식을 적고, 자동채우기로 나머지 셀에 대해서도 값을 구한다.

• 셀 "E14"의 수식: =ROUND(COS(2*PI()*(1/8)*B14)+COS(2*PI()*(11/80)*B14),2)

이제 Y(k)를 구해보면,

• Y(k) --> 셀 "E46" 수식: =CSumProduct($C14:$C45,E14:E45)
• Y(k)_re --> 셀 "E47" 수식: =IMREAL(E46)
• Y(k)_im --> 셀 "E48" 수식: =IMAGINARY(E46)
• Y(k)_magnitude --> 셀 "E49" 수식: =ROUND(SQRT(E47^2+E48^2),2)

Y(k)_magnitude에 대해 그래프를 그려보면, Y(4)에 대한 값이 크고, Y(5)의 값도 조금 크게 그려진다.

 

k에 대한 주파수 분해능을 생각해보면(k의 간격), 샘플링 주파수 $f_s=8kHz$이고 $N=32$이기에, k의 분해능은 $\frac{8k}{32}Hz = 250Hz$이다. 

따라서, 

• k=4: $4 \cdot 250 = 1000 Hz$
• k=5: $5 \cdot 250 = 1250 Hz$

즉, DFT를 한 결과, 1000Hz의 신호가 대부분이고, 1250Hz의 성분도 조금 있다고 해석되고, 이것은, 원래의 신호가 1000Hz와 1100Hz로 구성되어 있기에, 오차가 큰 해석이다. 

 

이러한 오차가 발생한 이유는 주파수의 분해능이 세밀하지 않아서이다. 

 

원래의 신호 간의 주파수 차이가 100Hz인데 (100Hz = 1100Hz - 1000Hz), N=32에 의한 k의 분해능이 250Hz이기에, 세밀하게 주파수 차이를 구분하지 못하기 때문이다.

 

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k의 간격을 더 세밀하게 하기 위해 N의 값을 크게 하고(32 --> 128), y(n)의 값도 더 많아지게 해 보자. 

 

변경 사항은,

 

항목	변경 전	변경 후
y(n) 범위	y[0] ~ y[31]	y[0] ~ y[127]
N	32	128
k 범위	0~31	0~127
Y(k) 계산 범위	Y[0]~Y[31]	Y[0]~Y[127]

 

이렇게 해서 Y(k)를 구하고, 그 크기에 대해 그래프를 그려보면, Y[16]과 Y[189]의 값의 크게 나온다. (그래프의 오른편 끝 쪽의 Y[110], Y[112]는 Y[16]과 Y[18]와 대칭이되는 주파수 값이기에, Y[16]과 Y[18]에 대해서만 얘기해도 되겠다.) 

N=128이고 $f_s=8 kHz$이기에, k의 분해능은 $\frac{8000Hz}{128}=62.5Hz$이다.

따라서, 

• k=16: $16 \times 62.5 = 1000 Hz $
• k=18: $18 \times 62.5 = 1125.5 Hz $

즉, 신호가 1000Hz와 1125.5Hz로 구성되었다고 해석할 수 있는 것이고, 원래의 신호가 1000Hz와 1100Hz이기에 25.5Hz의 오차가 있지만, 앞에서 N=32일 때보다 훨씬 오차의 크기가 작아졌다. 

 

이것은 N의 크기를 크게 했기에 DFT의 결과인 Y(k)에서의 k의 간격이 촘촘해져서, 세밀한 주파수 차이를 감지할 수 있는 것이다. 

이렇게 N을 크게 하면 DFT의 결과에서, 촘촘한 간격으로 주파수 성분을 해석할 수 있다. 그러나, N을 크게 할수록 계산해야 하는 데이터의 개수가 늘어나기에, 계산량은 더 많아진다. Y(k)를 구할 때 합성곱의 범위가 n=0에서 N-1까지의 범위이기에, N이 커질수록 합성곱을해야할 계산량이 많아지는 것이다.

 

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위의 경우는 k의 주파수 분해능을 높이기 위해서(세밀한 주파수 분석을 위해서) N의 값을 크게 했고, 이에 따라 y(n)의 값도 0~(N-1)까지의 값이 필요하기에, y(n)의 값을 신호수식에 의해 구한 후 사용했다.

그런데 만약 y(n)의 값이 적다면 어떻게 해야 할까? 주파수 분해능을 더 올릴 수 없는 것인가?

 

예를 들어 y(n)의 값이 y[0]~y[31]까지만 존재한다면, N=32로 할 수밖에 없다. 

N=64로 크게 하려면, y[32]~y[63]까지의 값이 추가로 필요하기 때문이다. 

그렇다면, 사용할 수 있는 N의 최댓값이 32라면, 샘플링 주파수가 8kHz의 경우 k의 주파수 분해능은 250Hz가 최대일 것이다. ( $\frac{8k}{32}Hz = 250Hz$ )

 

그러나, 이처럼 y(n)의 값이 적게 있더라도 주파수 분해능을 어느 정도 높일 수 있다. 

만약 y[0]~y[31]까지만 값이 있는 경우,  y[32]~y[63]까지의 값을 0으로 넣고 N=64로해서 계산하면 k의 주파수 분해능을 높일 수 있다.

 

 위 그래프와 같이 y[32]~y[63]까지의 값을 0으로 처리하고, DFT를 수행해서 Y(k)를 구해보면, 아래 그래프와 같이 Y[8]과 Y[9]에서 큰 값을 보이고 있어서, N=32로 했을 때 보다 더 원래의 신호값에 유사한 특성을 보여준다. 

• k=8: $8 \times \frac{8000}{64}Hz = 1000Hz$
• k=9: $9 \times \frac{8000}{64}Hz = 1125Hz$

 

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이 페이지에서 사용된 엑셀 파일:

DFT예제_4 - update.xlsm

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